ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.283 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сумма шестого и двадцать пятого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.

1) Из данной суммы:
\((a_1 + 5d) + (a_1 + 24d) = 14;\)
\(2a_1 + 29d = 14;\)

2) Сумма первых 30 членов:
\(S = \frac{2a_1 + d(30 — 1)}{2} \cdot 30;\)
\(S = 15(2a_1 + 29d);\)
\(S = 15 \cdot 14 = 210;\)

Ответ: 210.

Дана арифметическая прогрессия:
\(a_6 + a_{25} = 14;\)

1) Из данной суммы выразим \(a_6\) и \(a_{25}\) через первый член \(a_1\) и разность \(d\). Используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:
\(
a_n = a_1 + (n — 1)d;
\)
Для \(a_6\) имеем:
\(
a_6 = a_1 + 5d;
\)
Для \(a_{25}\) имеем:
\(
a_{25} = a_1 + 24d;
\)
Теперь подставим эти выражения в данное уравнение:
\((a_1 + 5d) + (a_1 + 24d) = 14;\)
Упростим это уравнение:
\(
2a_1 + 29d = 14;
\)

2) Теперь найдём сумму первых 30 членов прогрессии \(S\). Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\(
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n);
\)
В нашем случае \(n = 30\), поэтому:
\(
S = \frac{30}{2} (a_1 + a_{30});
\)
Используем формулу для \(a_{30}\):
\(
a_{30} = a_1 + 29d;
\)
Подставим это в формулу для суммы:
\(
S = 15 (a_1 + a_{30}) = 15 (a_1 + (a_1 + 29d)) = 15(2a_1 + 29d);
\)
Теперь подставим значение \(2a_1 + 29d\) из первого пункта:
\(
S = 15(14);
\)
Таким образом, получаем:
\(
S = 210;
\)

Ответ:
\(210.\)