ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.284 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму первых тридцати пяти членов арифметической прогрессии, если её восемнадцатый член равен 8.

1) Из данного равенства:
\(a_{18} = a_1 + 17d = 8;\)

2) Сумма первых 35 членов:
\(S = \frac{2a_1 + d(35 — 1)}{2} \cdot 35;\)
\(S = \frac{2a_1 + 34d}{2} \cdot 35;\)
\(S = 35(a_1 + 17d);\)
\(S = 35 \cdot 8 = 280;\)

Ответ: 280.

Дана арифметическая прогрессия:
\(a_{18} = 8;\)

1) Из данного равенства выразим \(a_{18}\) через первый член \(a_1\) и разность \(d\). Используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:
\(
a_n = a_1 + (n — 1)d;
\)
Для \(n = 18\) получаем:
\(
a_{18} = a_1 + 17d = 8;
\)
Это уравнение связывает первый член прогрессии и разность.

2) Теперь найдём сумму первых 35 членов прогрессии \(S\). Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\(
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n);
\)
В нашем случае \(n = 35\), поэтому:
\(
S = \frac{35}{2} (a_1 + a_{35});
\)
Теперь найдём \(a_{35}\) по формуле для общего члена:
\(
a_{35} = a_1 + 34d;
\)
Подставим это значение в формулу для суммы:
\(
S = \frac{35}{2} (a_1 + (a_1 + 34d)) = \frac{35}{2} (2a_1 + 34d);
\)
Упрощаем:
\(
S = 35 (a_1 + 17d);
\)
Теперь подставим значение \(a_1 + 17d\). Из первого уравнения мы знаем, что:
\(
a_1 + 17d = a_{18} = 8;
\)
Таким образом, подставляем это значение в формулу для суммы:
\(
S = 35 \cdot 8 = 280;
\)

Ответ:
\(
S = 280.
\)