ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.287 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите знаменатель геометрической прогрессии \(b_n\), если:

1) \(b_1 = 108, \quad b_4 = 32;\)

2) \(b_2 = 6, \quad b_4 = 30.\)

1)
\(b_1 = 108, \quad b_4 = 32;\)
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
\(
108 \cdot q^3 = 32;
\)
\(
q^3 = \frac{8}{27};
\)
\(
q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3};
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

2)
\(b_2 = 6, \quad b_4 = 30;\)
\(
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
\(
\frac{b_4}{b_2} = q^2;
\)
\(
q^2 = \frac{30}{6} = 5;
\)
\(
q = \pm \sqrt{5};
\)
Ответ: \(-\sqrt{5}, \quad \sqrt{5}\).

Найти знаменатель прогрессии:

1) Дано:
\(b_1 = 108, \quad b_4 = 32;\)
Используем формулу для \(b_n\) в геометрической прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1};
\)
Для \(n = 4\) получаем:
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
Подставим известные значения:
\(
32 = 108 \cdot q^3;
\)
Теперь решим уравнение для \(q^3\):
\(
q^3 = \frac{32}{108} = \frac{8}{27};
\)
Теперь найдём \(q\):
\(
q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3};
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

2) Дано:
\(b_2 = 6, \quad b_4 = 30;\)
Запишем формулы для \(b_2\) и \(b_4\):
\(
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
Теперь найдём отношение:
\(
\frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = q^2;
\)
Подставим известные значения:
\(
q^2 = \frac{30}{6} = 5;
\)
Теперь найдём \(q\):
\(
q = \pm \sqrt{5};
\)
Ответ: \(-\sqrt{5}, \quad \sqrt{5}\).