ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.289 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Число 192 является членом геометрической прогрессии \( \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3, \ldots \). Найдите номер этого члена.

1) Формула n-го члена:
\(
b_1 = \frac{3}{4}, \quad b_2 = \frac{3}{2};
\)
\(
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3/2}{3/4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2;
\)
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1};
\)
\(
b_n = \frac{3}{4} \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-3};
\)

2) Номер члена:
\(
3 \cdot 2^{n-3} = 192;
\)
\(
2^{n-3} = 64;
\)
\(
n — 3 = 6;
\)
\(
n = 9;
\)

Ответ: 9.

Дана геометрическая прогрессия:
\(
\frac{3}{4}, \quad \frac{3}{2}, \quad 3, \quad \ldots; \quad a_n = 192;
\)

1) Запишем формулы для первого и второго членов прогрессии:
\(
b_1 = \frac{3}{4}, \quad b_2 = \frac{3}{2};
\)

Теперь найдём знаменатель прогрессии \(q\):
\(
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2;
\)

Теперь запишем формулу для n-го члена прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1};
\)

Подставим значение \(b_1\) и \(q\):
\(
b_n = \frac{3}{4} \cdot 2^{n-1};
\)

Упростим выражение:
\(
b_n = 3 \cdot 2^{n-3};
\)

2) Теперь найдём номер члена, который равен 192:
\(
3 \cdot 2^{n-3} = 192;
\)

Разделим обе стороны на 3:
\(
2^{n-3} = \frac{192}{3} = 64;
\)

Теперь выразим степень двойки:
\(
2^{n-3} = 2^6;
\)

Сравнив степени, получаем:
\(
n — 3 = 6;
\)

Теперь найдём \(n\):
\(
n = 6 + 3 = 9;
\)

Ответ: 9.