ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что для всех натуральных значений \( n \) дробь

\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8}
\)

несократима.

Известно, что \( p \) и \( q \) — нечетные числа;
Доказать, что уравнение не имеет корней:

\(
x^2 + p x + q = 0;
\)

\(
x_1 \cdot x_2 = q \text{ — нечетное число;}
\)
\(
x_1 \text{ — нечетное число;}
\)
\(
x_2 \text{ — нечетное число;}
\)
\(
x_1 + x_2 \text{ — четное число;}
\)
\(
x_1 + x_2 = -p \text{ — нечетное число;}
\)

Есть противоречие, что и требовалось доказать.

Известно, что \( p \) и \( q \) — нечетные числа.
Доказать, что уравнение не имеет рациональных корней:

\(
x^2 + p x + q = 0
\)

Пусть уравнение имеет рациональные корни \( x_1 \) и \( x_2 \).
По теореме Виета:

\(
x_1 + x_2 = -p
\)
\(
x_1 \cdot x_2 = q
\)

Так как \( q \) — нечетное число, произведение корней тоже нечетное:

\(
x_1 \cdot x_2 = q \text{ — нечетное}
\)

Рассмотрим возможные рациональные значения корней.
Если оба корня рациональны и их произведение — нечетное число, то оба корня должны быть нечетными рациональными числами (так как произведение четного и любого числа дает четное число).

Пусть

\(
x_1 = \frac{a}{b},\quad x_2 = \frac{c}{d}
\)

где \( a, b, c, d \) — целые числа, дроби несократимы, знаменатели не равны нулю.

Произведение:

\(
x_1 \cdot x_2 = \frac{a c}{b d} = q
\)

Так как \( q \) — нечетное целое, \( a, c, b, d \) также должны быть нечетными (чтобы произведение было нечетным).

Сумма корней по Виету:

\(
x_1 + x_2 = -p
\)

Но сумма двух нечетных рациональных чисел всегда дает четное рациональное число, так как:

\(
x_1 + x_2 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}
\)

Числитель \( a d + b c \) — сумма произведений нечетных чисел, то есть четное число. Знаменатель \( b d \) — нечетное число.

Следовательно, \( x_1 + x_2 \) — четное рациональное число.

Однако по теореме Виета \( x_1 + x_2 = -p \), а \( -p \) — нечетное число, так как \( p \) — нечетное.

Получаем противоречие: сумма корней одновременно должна быть четной и нечетной.

Это противоречие доказывает, что уравнение не может иметь рациональных корней.