ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.290 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какие три числа надо вставить между числами 48 и 243, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

1) Формула n-го члена:
\(
b_5 = b_1 \cdot q^4;
\)
\(
48 \cdot q^4 = 243;
\)
\(
q^4 = \frac{243}{48} = \frac{81}{16};
\)
\(
q = \pm \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm \frac{3}{2};
\)

2) Искомые числа:
\(
b_2 = b_1 \cdot q = 48 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = \pm 72;
\)
\(
b_3 = b_2 \cdot q = \pm 72 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = 108;
\)
\(
b_4 = b_3 \cdot q = 108 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = \pm 162;
\)

Ответ: \(-72, 108, -162\) или \(72, 108, 162\).

Дана геометрическая прогрессия:
\(b_1 = 48, \quad b_5 = 243;\)

1) Запишем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1};
\)
Для \(n = 5\) получаем:
\(
b_5 = b_1 \cdot q^4;
\)
Подставим известные значения:
\(
48 \cdot q^4 = 243;
\)
Теперь выразим \(q^4\):
\(
q^4 = \frac{243}{48};
\)
Упростим дробь:
\(
q^4 = \frac{81}{16};
\)
Теперь найдём \(q\):
\(
q = \pm \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm \frac{3}{2};
\)

2) Теперь найдем искомые числа. Начнем с \(b_2\):
\(
b_2 = b_1 \cdot q;
\)
Подставим известные значения:
\(
b_2 = 48 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = \pm 72;
\)

Теперь найдём \(b_3\):
\(
b_3 = b_2 \cdot q;
\)
Подставим значение \(b_2\):
\(
b_3 = \pm 72 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = 108;
\)

Теперь найдём \(b_4\):
\(
b_4 = b_3 \cdot q;
\)
Подставим значение \(b_3\):
\(
b_4 = 108 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = \pm 162;
\)

Ответ: \(-72, 108, -162\) или \(72, 108, 162\).