ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.291 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(2x — 1\), \(x + 1\) и \(5 — x\) являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) Из свойства прогрессии:
\(
b_2^2 = b_1 \cdot b_3;
\)
\(
(x + 1)^2 = (2x — 1)(5 — x);
\)
\(
x^2 + 2x + 1 = 10x — 2x^2 — 5 + x;
\)
\(
3x^2 — 9x + 6 = 0;
\)
\(
x^2 — 3x + 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

2) Если \(x = 1\), тогда:
\(
b_1 = 2 \cdot 1 — 1 = 1;
\)
\(
b_2 = 1 + 1 = 2;
\)
\(
b_3 = 5 — 1 = 4;
\)

3) Если \(x = 2\), тогда:
\(
b_1 = 2 \cdot 2 — 1 = 3;
\)
\(
b_2 = 2 + 1 = 3;
\)
\(
b_3 = 5 — 2 = 3;
\)

Ответ:
если \(x = 1\), то \(1, 2, 4;\)
если \(x = 2\), то \(3, 3, 3.\)

Дана геометрическая прогрессия:
\(
b_1 = 2x — 1, \quad b_2 = x + 1, \quad b_3 = 5 — x;
\)

1) Из свойства прогрессии известно, что для трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется равенство:
\(
b_2^2 = b_1 \cdot b_3;
\)
Подставим выражения для \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\):
\(
(x + 1)^2 = (2x — 1)(5 — x);
\)
Раскроем скобки с левой стороны:
\(
x^2 + 2x + 1 = (2x — 1)(5 — x);
\)
Теперь раскроем скобки с правой стороны:
\(
x^2 + 2x + 1 = 10x — 2x^2 — 5 + x;
\)
Соберем все члены на одной стороне:
\(
x^2 + 2x + 1 — 10x + 2x^2 + 5 — x = 0;
\)
Упростим уравнение:
\(
3x^2 — 9x + 6 = 0;
\)
Теперь упростим его, разделив на 3:
\(
x^2 — 3x + 2 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;
\)
Теперь найдём корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{3 — \sqrt{D}}{2} = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{D}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

2) Если \(x = 1\), тогда:
\(
b_1 = 2 \cdot 1 — 1 = 1;
\)
\(
b_2 = 1 + 1 = 2;
\)
\(
b_3 = 5 — 1 = 4;
\)

Таким образом, при \(x = 1\) члены прогрессии равны \(1, 2, 4\).

3) Если \(x = 2\), тогда:
\(
b_1 = 2 \cdot 2 — 1 = 3;
\)
\(
b_2 = 2 + 1 = 3;
\)
\(
b_3 = 5 — 2 = 3;
\)

Таким образом, при \(x = 2\) все члены прогрессии равны \(3, 3, 3\).

Ответ:
если \(x = 1\), то \(1, 2, 4;\)
если \(x = 2\), то \(3, 3, 3.\)