ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.292 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \(b_n\), если:
1) \(b_4 = 280, \quad q = 5;\)
2) \(b_1 = \sqrt{2}, \quad b_5 = 4\sqrt{2}, \quad q < 0.\)

1)
\(
b_4 = 280, \quad q = 5;
\)
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
\(
b_1 \cdot 5^3 = 280;
\)
\(
b_1 = \frac{280}{125} = \frac{56}{25};
\)
\(
S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1} = \frac{56}{25} \cdot \frac{5^4 — 1}{5 — 1};
\)
\(
S_4 = \frac{56 \cdot 624}{25 \cdot 4} = \frac{14 \cdot 624}{25} = 349 \frac{11}{25};
\)

Ответ:
\(
349 \frac{11}{25};
\)

2)
\(
b_1 = \sqrt{2}, \quad b_5 = 4 \sqrt{2}, \quad q < 0;
\)
\(
b_5 = b_1 \cdot q^4;
\)
\(
\sqrt{2} \cdot q^4 = 4 \sqrt{2};
\)
\(
q^4 = 4;
\)
\(
q = -\sqrt[4]{4} = -\sqrt{2};
\)
\(
S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1} = \frac{\sqrt{2} \left((- \sqrt{2})^4 — 1\right)}{-\sqrt{2} — 1};
\)
\(
S_4 = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{-\sqrt{2} — 1} = \frac{-3 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} — 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1)};
\)
\(
S_4 = \frac{-3 \cdot 2 + 3 \sqrt{2}}{2 — 1} = 3 \sqrt{2} — 6;
\)

Ответ:
\(
3 \sqrt{2} — 6.
\)

Найти сумму четырёх первых членов:

1)
Дано:
\(
b_4 = 280, \quad q = 5;
\)
Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
Подставим известные значения:
\(
b_1 \cdot 5^3 = 280;
\)
Вычислим \(5^3\):
\(
b_1 \cdot 125 = 280;
\)
Теперь выразим \(b_1\):
\(
b_1 = \frac{280}{125} = \frac{56}{25};
\)

Теперь найдем сумму первых четырёх членов \(S_4\):
\(
S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1};
\)
Подставим найденное значение \(b_1\) и \(q\):
\(
S_4 = \frac{\frac{56}{25} \cdot (5^4 — 1)}{5 — 1};
\)
Вычислим \(5^4\):
\(
5^4 = 625;
\)
Теперь подставим это значение:
\(
S_4 = \frac{\frac{56}{25} \cdot (625 — 1)}{4};
\)
Упростим выражение:
\(
S_4 = \frac{\frac{56}{25} \cdot 624}{4};
\)
Упростим дробь:
\(
S_4 = \frac{56 \cdot 624}{100} = \frac{14 \cdot 624}{25} = 349 \frac{11}{25};
\)

Ответ:
\(
349 \frac{11}{25};
\)

2)
Дано:
\(
b_1 = \sqrt{2}, \quad b_5 = 4 \sqrt{2}, \quad q < 0;
\)
Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\(
b_5 = b_1 \cdot q^4;
\)
Подставим известные значения:
\(
\sqrt{2} \cdot q^4 = 4 \sqrt{2};
\)
Теперь выразим \(q^4\):
\(
q^4 = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4;
\)
Теперь найдём \(q\):
\(
q = -\sqrt[4]{4} = -\sqrt{2};
\)

Теперь найдем сумму первых четырёх членов \(S_4\):
\(
S_4 = \frac{b_1 (q^4 — 1)}{q — 1} = \frac{\sqrt{2} \left((- \sqrt{2})^4 — 1\right)}{-\sqrt{2} — 1};
\)
Вычислим \( (- \sqrt{2})^4 \):
\(
(- \sqrt{2})^4 = 4;
\)
Теперь подставим это значение:
\(
S_4 = \frac{\sqrt{2} \cdot (4 — 1)}{-\sqrt{2} — 1} = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{-\sqrt{2} — 1};
\)

Упростим дробь:
\(
S_4 = \frac{-3 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} — 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1)};
\)
В числителе:
\(
-3 \sqrt{2} (\sqrt{2} — 1) = -3(2 — \sqrt{2}) = -6 + 3\sqrt{2};
\)

В знаменателе:
\(
(\sqrt{2})^2 — 1^2 = 2 — 1 = 1;
\)

Таким образом, получаем:
\(
S_4 = -6 + 3 \sqrt{2};
\)

Ответ:
\(
3 \sqrt{2} — 6.
\)