ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.295 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \( b_n \), если \( b_2 = 108 \) и \( b_4 = 48 \).

Дана геометрическая прогрессия:
\( b_2 = 108, \quad b_4 = 48; \)

1) Первый член и знаменатель:
\(
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9};
\)
\(
q = \pm \frac{2}{3};
\)
\(
b_1 = \frac{b_2}{q} = 108 : \left(\pm \frac{2}{3}\right) = \pm 162;
\)

2) Сумма прогрессии:
\(
S_1 = -162 \cdot \left(1 + \frac{2}{3}\right) = -162 : \frac{5}{3} = -97.2;
\)
\(
S_2 = 162 \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right) = 162 : 3 = 486;
\)

Ответ: \(-97.2; \quad 486.\)

Дана геометрическая прогрессия:
\( b_2 = 108, \quad b_4 = 48; \)

1) Для нахождения первого члена \( b_1 \) и знаменателя \( q \) используем формулы для членов прогрессии:
\(
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_4 = b_1 \cdot q^3;
\)
Теперь выразим \( q^2 \) через \( b_2 \) и \( b_4 \):
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9};
\)
Теперь найдем \( q \):
\(
q = \pm \frac{2}{3};
\)
Теперь найдем первый член \( b_1 \):
\(
b_1 = \frac{b_2}{q} = 108 : \left(\pm \frac{2}{3}\right);
\)
Вычисляем:
\(
b_1 = 108 \cdot \left(\pm \frac{3}{2}\right) = \pm 162;
\)

2) Теперь найдем сумму прогрессии. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\(
S = \frac{b_1}{1 — q};
\)
Для случая, когда \( b_1 = -162 \):
\(
S_1 = \frac{-162}{1 — \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-162}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-162}{\frac{5}{3}} = -162 \cdot \frac{3}{5} = -97.2;
\)
Для случая, когда \( b_1 = 162 \):
\(
S_2 = \frac{162}{1 — \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{162}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{5}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{5} = 486;
\)

Ответ: \(-97.2; \quad 486.\)