ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.300 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Определите, является ли функция четной или нечетной, заданной формулой:

1) \( f(x) = 2x + \sin(x); \)

2) \( f(x) = \frac{\cot(x)}{x^2 — 1}; \)

3) \( f(x) = \frac{x^4 \cos(x)}{\tan(x) + \cot(x)}; \)

4) \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^3 — 1}; \)

5) \( f(x) = \tan(x) + x^2; \)

6) \( f(x) = \frac{(2 — x) \cos(x)}{2 — x}. \)

1)
\( f(x) = 2x + \sin x; \)
Область определения:
\( x \in \mathbb{R}; \)
Исследуем на четность:
\(
f(-x) = 2(-x) + \sin(-x);
\)
\(
f(-x) = -2x — \sin x = -f(x);
\)
Ответ: нечетная.

2)
\( f(x) = \frac{\cot x}{x^2 — 1}; \)
Область определения:
\(
x^2 — 1 \neq 0;
\)
\(
x^2 \neq 1;
\)
\(
x \neq \pm 1;
\)
Исследуем на четность:
\(
f(-x) = \frac{\cot(-x)}{(-x)^2 — 1};
\)
\(
f(-x) = \frac{-\cot x}{x^2 — 1} = -f(x);
\)
Ответ: нечетная.

3)
\( f(x) = \frac{x^4 \cos x}{\tan x + \cot x}; \)
Область определения:
\( x \neq \frac{\pi n}{2}; \)

Исследуем на четность:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^4 \cos(-x)}{\tan(-x) + \cot(-x)};
\)
\(
f(-x) = \frac{x^4 \cos x}{-\tan x — \cot x} = -f(x);
\)
Ответ: нечетная.

4)
\( f(x) = \frac{\cos x}{x^3 — 1}; \)
Область определения:
\(
x^3 — 1 \neq 0;
\)
\(
x^3 \neq 1;
\)
\(
x \neq 1;
\)
Ответ: ни четная, ни нечетная.

5)
\( f(x) = \tan x + x^2; \)
Область определения:
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Исследуем на четность:
\(
f(-x) = \tan(-x) + (-x)^2;
\)
\(
f(-x) = -\tan x + x^2;
\)
Ответ: ни четная, ни нечетная.

6)
\( f(x) = \frac{(2 — x) \cos x}{2 — x}; \)
Область определения:
\(
2 — x \neq 0;
\)
\(
x \neq 2;
\)
Ответ: ни четная, ни нечетная.

1) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = 2x + \sin x; \)
Область определения:
\( x \in \mathbb{R}; \)
Теперь исследуем на четность:
\(
f(-x) = 2(-x) + \sin(-x);
\)
Упрощаем:
\(
f(-x) = -2x — \sin x;
\)
Сравниваем с \( -f(x) \):
\(
-f(x) = — (2x + \sin x) = -2x — \sin x;
\)
Таким образом, получаем:
\(
f(-x) = -f(x);
\)
Ответ: нечетная.

2) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \frac{\cot x}{x^2 — 1}; \)
Область определения:
\(
x^2 — 1 \neq 0;
\)
Это означает:
\(
x^2 \neq 1;
\)
Следовательно:
\(
x \neq \pm 1;
\)
Теперь исследуем на четность:
\(
f(-x) = \frac{\cot(-x)}{(-x)^2 — 1};
\)
Используем свойство котангенса:
\(
\cot(-x) = -\cot x;
\)
Таким образом, получаем:
\(
f(-x) = \frac{-\cot x}{x^2 — 1} = -f(x);
\)
Ответ: нечетная.

3) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \frac{x^4 \cos x}{\tan x + \cot x}; \)
Область определения:
\( x \neq \frac{\pi n}{2}; \)
Теперь исследуем на четность:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^4 \cos(-x)}{\tan(-x) + \cot(-x)};
\)
Упрощаем:
\(
f(-x) = \frac{x^4 \cos x}{-\tan x — \cot x} = -f(x);
\)
Ответ: нечетная.

4) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \frac{\cos x}{x^3 — 1}; \)
Область определения:
\(
x^3 — 1 \neq 0;
\)
Это означает:
\(
x^3 \neq 1;
\)
Следовательно:
\(
x \neq 1;
\)
Теперь исследуем на четность:
\(
f(-x) = \frac{\cos(-x)}{(-x)^3 — 1};
\)
Используем свойство косинуса:
\(
\cos(-x) = \cos x;
\)
Таким образом, получаем:
\(
f(-x) = \frac{\cos x}{-x^3 — 1};
\)
Это не равно \( f(x) \) и не равно \( -f(x) \). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

5) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \tan x + x^2; \)
Область определения:
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Теперь исследуем на четность:
\(
f(-x) = \tan(-x) + (-x)^2;
\)
Используем свойство тангенса:
\(
\tan(-x) = -\tan x;
\)
Таким образом, получаем:
\(
f(-x) = -\tan x + x^2;
\)
Это не равно \( f(x) \) и не равно \( -f(x) \). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

6) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \frac{(2 — x) \cos x}{2 — x}; \)
Область определения:
\(
2 — x \neq 0;
\)
Это означает:
\(
x \neq 2;
\)
Теперь исследуем на четность:
\(
f(-x) = \frac{(2 — (-x)) \cos(-x)}{2 — (-x)};
\)
Используем свойства косинуса:
\(
\cos(-x) = \cos x;
\)
Таким образом, получаем:
\(
f(-x) = \frac{(2 + x) \cos x}{2 + x};
\)
Это не равно \( f(x) \) и не равно \( -f(x) \). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.