ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.301 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите главный период функции:

1) \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 2\right); \)

2) \( f(x) = \tan(-x + 1); \)

3) \( f(x) = \tan(4\pi x — 3). \)

1)
\( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 2\right); \)
\( \cos\left(\frac{x + T}{2} + 2\right) = \cos\left(\frac{x — T}{2} + 2\right); \)
\( \cos\left(\frac{x}{2} + 2 + \frac{T}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2} + 2 — \frac{T}{2}\right); \)
\( \frac{T}{2} = 2\pi, \quad T = 4\pi; \)
Ответ: \( 4\pi \).

2)
\( f(x) = \tan(-x + 1); \)
\( \tan(-(x + T) + 1) = \tan(-(x — T) + 1); \)
\( \tan(-x + 1 — T) = \tan(-x + 1 + T); \)
\( T = \pi; \)
Ответ: \( \pi \).

3)
\( f(x) = \tan(4\pi x — 3); \)
\( \tan(4\pi(x + T) — 3) = \tan(4\pi(x — T) — 3); \)
\( \tan(4\pi x — 3 + 4\pi T) = \tan(4\pi x — 3 — 4\pi T); \)
\( 4\pi T = \pi, \quad T = \frac{1}{4}; \)
Ответ: \( \frac{1}{4} \).

Найти главный период функции:

1) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 2\right); \)
Для нахождения периода функции косинуса, используем свойство периодичности:
\(
\cos\left(\frac{x + T}{2} + 2\right) = \cos\left(\frac{x — T}{2} + 2\right);
\)
Это означает, что аргументы косинуса должны различаться на \( 2\pi \):
\(
\frac{x + T}{2} + 2 = \frac{x — T}{2} + 2 + 2\pi;
\)
Упрощаем это уравнение:
\(
\frac{x + T}{2} = \frac{x — T}{2} + 2\pi;
\)
Умножаем обе стороны на 2:
\(
x + T = x — T + 4\pi;
\)
Сокращаем \( x \):
\(
T + T = 4\pi;
\)
Итак, получаем:
\(
2T = 4\pi, \quad T = 2\pi.
\)
Однако, так как у нас \( \frac{x}{2} \), то главный период будет:
\(
T = 4\pi.
\)
Ответ: \( 4\pi \).

2) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \tan(-x + 1); \)
Для нахождения периода функции тангенса, используем свойство периодичности:
\(
\tan(-(x + T) + 1) = \tan(-(x — T) + 1);
\)
Это означает, что аргументы тангенса должны различаться на \( \pi \):
\(
\tan(-x + 1 — T) = \tan(-x + 1 + T);
\)
Таким образом, получаем:
\(
-T = T \quad \Rightarrow \quad T = \pi.
\)
Ответ: \( \pi \).

3) Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \tan(4\pi x — 3); \)
Для нахождения периода функции тангенса, используем свойство периодичности:
\(
\tan(4\pi(x + T) — 3) = \tan(4\pi(x — T) — 3);
\)
Это означает, что аргументы тангенса должны различаться на \( \pi \):
\(
\tan(4\pi x — 3 + 4\pi T) = \tan(4\pi x — 3 — 4\pi T);
\)
Таким образом, получаем:
\(
4\pi T = \pi.
\)
Разделим обе стороны на \( 4\pi \):
\(
T = \frac{1}{4}.
\)
Ответ: \( \frac{1}{4} \).