ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.303 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \sqrt{\cos(2x)}^2; \)

2) \( y = \tan(x) — \tan|x|; \)

3) \( y = \sqrt{-\cos^2(x)}; \)

4) \( y = \frac{\cot|x|}{\cot(x)}; \)

5) \( y = \sqrt{\cos(x) — 1}; \)

6) \( y = \sqrt{\sin^2(x)} — \sin(x); \)

7) \( y = \cot(x) \sin(x); \)

8) \( y = \frac{\sin^2(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}}; \)

9) \( y = |\tan(x)| \cot(x). \)

1)
\( y = \left(\sqrt{\cos 2x}\right)^2 = \cos 2x; \)
Область определения:
\( \cos 2x \geq 0; \)
График функции:

2)
\( y = \tan x — \tan |x|; \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = \tan x — \tan x = 0; \)
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = \tan x — \tan(-x) = 2 \tan x; \)
Область определения:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

График функции:

3)
\( y = \sqrt{-\cos^2 x}; \)
Область определения:
\( -\cos^2 x \geq 0; \)
\( \cos x = 0; \)
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
\( y\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0; \)

График функции:

4)
\( y = \frac{\text{ctg} |x|}{\text{ctg} x}; \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = \frac{\text{ctg} x}{\text{ctg} x} = 1; \)
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = \frac{\text{ctg}(-x)}{\text{ctg} x} = -1; \)
Область определения:
\( \text{ctg} x \neq 0; \)
\( x \neq \frac{\pi n}{2}; \)

График функции:

5)
\( y = \sqrt{\cos x — 1}; \)
Область определения:
\( \cos x — 1 \geq 0; \)
\( \cos x = 1; \)
\( x = 2 \pi n; \)
\( y(2 \pi n) = 0; \)

График функции:

6)
\( y = \sqrt{\sin^2 x} — \sin x; \)
\( y = |\sin x| — \sin x; \)

Если \( \sin x \geq 0 \), тогда:
\( y = \sin x — \sin x = 0; \)

Если \( \sin x < 0 \), тогда:
\( y = -\sin x — \sin x = -2 \sin x; \)

График функции:

7)
\( y = \text{ctg} x \cdot \sin x; \)
\( y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x; \)

Область определения:
\( \sin x \neq 0; \)
\( x \neq \pi n; \)

График функции:

8)
\( y = \frac{\sin^2 x}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{\sin^2 x}{|\sin x|}; \)

Если \( \sin x \geq 0 \), тогда:
\( y = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x; \)

Если \( \sin x < 0 \), тогда:
\( y = \frac{\sin^2 x}{-\sin x} = -\sin x; \)

Область определения:
\( \sin x \neq 0; \)

График функции:

9)
\( y = |\tan x| \cdot \cot x; \)

Если \( \tan x \geq 0 \), тогда:
\( y = \tan x \cdot \cot x = 1; \)

Если \( \tan x < 0 \), тогда:
\( y = -\tan x \cdot \cot x = -1; \)

Область определения:
\( x \neq \frac{\pi n}{2}; \)

График функции:

1) Рассмотрим функцию:
\( y = \left(\sqrt{\cos 2x}\right)^2 = \cos 2x; \)
Область определения:
\( \cos 2x \geq 0; \)
Это условие означает, что функция определена там, где косинус двойного угла неотрицателен. Это происходит в интервалах:
\( 2x = 2k\pi \) и \( 2x = (2k + 1)\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Следовательно,
\( x = k\pi \) и \( x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} \).
График функции будет отображать значения \( y = \cos 2x \) в этих интервалах.

2) Рассмотрим функцию:
\( y = \tan x — \tan |x|; \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = \tan x — \tan x = 0; \)
Это означает, что для всех неотрицательных \( x \) функция равна нулю.
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = \tan x — \tan(-x) = 2 \tan x; \)
Это указывает на то, что для отрицательных значений \( x \) функция удваивает значение тангенса.
Область определения:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \), так как тангенс не определён в этих точках.
График функции будет равен нулю для \( x \geq 0 \) и будет иметь значения \( 2\tan x \) для \( x < 0 \).

3) Рассмотрим функцию:
\( y = \sqrt{-\cos^2 x}; \)
Область определения:
\( -\cos^2 x \geq 0; \)
Это условие выполняется, когда \( \cos^2 x = 0; \)
Таким образом, мы получаем:
\( \cos x = 0; \)
Это происходит в точках:
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \).
Следовательно, значение функции будет равно:
\( y\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0; \)
График функции будет отображать точки на оси \( x \) в этих значениях, где функция равна нулю.

4) Рассмотрим функцию:
\( y = \frac{\text{ctg} |x|}{\text{ctg} x}; \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = \frac{\text{ctg} x}{\text{ctg} x} = 1; \)
Это означает, что для всех неотрицательных \( x \) функция равна 1.
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = \frac{\text{ctg}(-x)}{\text{ctg} x} = -1; \)
Это указывает на то, что для отрицательных значений \( x \) функция равна -1.
Область определения:
\( \text{ctg} x \neq 0; \)
Это условие приводит к тому, что:
\( x \neq \frac{\pi n}{2}; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \), так как котангенс не определён в этих точках.

5) Рассмотрим функцию:
\( y = \sqrt{\cos x — 1}; \)
Область определения:
\( \cos x — 1 \geq 0; \)
Это условие выполняется, когда:
\( \cos x = 1; \)
Следовательно, это происходит в точках:
\( x = 2\pi n; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \).
Значение функции в этих точках:
\( y(2\pi n) = 0; \)

График функции будет показывать точки на оси \( x \) в точках \( x = 2\pi n \), где функция равна 0.

6) Рассмотрим функцию:
\( y = \sqrt{\sin^2 x} — \sin x; \)
Это можно записать как:
\( y = |\sin x| — \sin x; \)

Если \( \sin x \geq 0 \), тогда:
\( y = \sin x — \sin x = 0; \)
Это означает, что для всех \( x \) в интервале, где синус неотрицателен, функция равна нулю.

Если \( \sin x < 0 \), тогда:
\( y = -\sin x — \sin x = -2\sin x; \)
Это указывает на то, что для отрицательных значений синуса функция принимает значения, пропорциональные -2 синусу.

График функции будет показывать значение 0 для \( \sin x \geq 0 \) и линейную зависимость для \( \sin x < 0\).

7) Рассмотрим функцию:
\( y = \text{ctg} x \cdot \sin x; \)
Это можно переписать как:
\( y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x; \)
Таким образом, функция \( y \) равна \( \cos x \).

Область определения:
\( \sin x \neq 0; \)
Это условие приводит к тому, что:
\( x \neq \pi n; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \), так как синус не определён в этих точках.

График функции будет представлять собой график косинуса с разрывами в точках \( x = \pi n \).

8) Рассмотрим функцию:
\( y = \frac{\sin^2 x}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{\sin^2 x}{|\sin x|}; \)
Если \( \sin x \geq 0 \), тогда:
\( y = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x; \)
Если \( \sin x < 0 \), тогда:
\( y = \frac{\sin^2 x}{-\sin x} = -\sin x; \)

Область определения:
\( \sin x \neq 0; \)
Это условие указывает на то, что функция не определена в точках, где синус равен нулю, то есть:
\( x \neq \pi n; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \).

График функции будет представлять собой график \( y = \sin x \) для положительных значений синуса и график \( y = -\sin x \) для отрицательных значений синуса, с разрывами в точках \( x = \pi n \).

9) Рассмотрим функцию:
\( y = |\tan x| \cdot \cot x; \)
Если \( \tan x \geq 0 \), тогда:
\( y = \tan x \cdot \cot x = 1; \)
Если \( \tan x < 0 \), тогда:
\( y = -\tan x \cdot \cot x = -1; \)

Область определения:
\( x \neq \frac{\pi n}{2}; \)
где \( n \in \mathbb{Z} \), так как тангенс не определён в этих точках.

График функции будет показывать горизонтальные линии на уровнях 1 и -1 с разрывами в точках \( x = \frac{\pi n}{2} \).