ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.304 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение:
\(
\sin(x) = \frac{x}{10\pi}?
\)

Сколько корней имеет уравнение:
\(
\sin x = \frac{x}{10\pi};
\)

Графики функций \( y = \sin x \) и \( y = \frac{x}{10\pi} \):

Ответ: 19.

Сколько корней имеет уравнение:
\(
\sin x = \frac{x}{10\pi};
\)

Для анализа этого уравнения рассмотрим графики функций \( y = \sin x \) и \( y = \frac{x}{10\pi} \).

Функция \( y = \sin x \) является периодической и колеблется между -1 и 1. Она имеет период \( 2\pi \) и пересекает ось абсцисс в точках \( x = n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Функция \( y = \frac{x}{10\pi} \) представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом \( \frac{1}{10\pi} \). Эта прямая будет расти, и с увеличением \( x \) будет пересекать ось \( y \) в точке, соответствующей значению \( y = 1 \) при \( x = 10\pi \).

Чтобы найти количество корней уравнения, необходимо определить количество точек пересечения графиков этих функций.

На интервале \( (-10\pi, 10\pi) \) прямая будет пересекаться с синусоидой 19 раз. Это связано с тем, что за один период синусоиды происходит два пересечения с прямой (один раз при положительных значениях и один раз при отрицательных), и учитывая, что синусоида имеет период \( 2\pi \), мы получаем:

— В интервале от \( -10\pi \) до \( 10\pi \) содержится 10 полных периодов синусоиды.
— При этом в каждом периоде будет по 2 пересечения, что дает 20 пересечений.
— Однако одно из пересечений происходит в точке \( x = 0 \), которое мы учитываем только один раз.

Таким образом, итоговое количество корней уравнения составляет 19.

Ответ: 19.