Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.307 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
\(
\frac{\cot(x) — \sin(x)}{1 — \cos(x)}
\)
\(
\frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} + \frac{1 — \cos(\varphi)}{\sin(\varphi)}
\)
\(
\sin^4(a) — \sin^2(a) + \cos^2(a)
\)
\(
\frac{\tan(a)}{\tan(a) + \cot(a)}
\)
1)
\(
\text{ctg} x — \frac{\sin x}{1 — \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} — \frac{\sin x}{1 — \cos x} =
\)
\(
= \frac{\cos x (1 — \cos x) — \sin^2 x}{\sin x (1 — \cos x)} = \frac{\cos x — \cos^2 x — \sin^2 x}{\sin x (1 — \cos x)} =
\)
\(
= \frac{\cos x — 1}{\sin x (1 — \cos x)} = -\frac{1}{\sin x};
\)
2)
\(
\frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} + \frac{1 — \cos \varphi}{\sin \varphi} = \frac{\sin^2 \varphi + (1 — \cos^2 \varphi)}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)} =
\)
\(
= \frac{\sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)} = \frac{2 \sin \varphi}{1 + \cos \varphi} = \frac{4 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}}{2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}} = 2 \text{tg} \frac{\varphi}{2};
\)
3)
\(
\sin^4 a — \sin^2 a + \cos^2 a = \sin^2 a (\sin^2 a — 1) + \cos^2 a =
\)
\(
= \sin^2 a \cdot (-\cos^2 a) + \cos^2 a = \cos^2 a (1 — \sin^2 a) = \cos^2 a \cdot \cos^2 a = \cos^4 a;
\)
4)
\(
\frac{\text{tg} a}{\text{tg} a + \text{ctg} a} = \frac{\text{tg}^2 a}{\text{tg}^2 a + 1} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 a}} = \sin^2 a;
\)
1)
\(
\text{ctg} \, x — \frac{\sin \, x}{1 — \cos \, x} = \frac{\cos \, x}{\sin \, x} — \frac{\sin \, x}{1 — \cos \, x}
\)
Сначала найдём общий знаменатель для дробей:
\(
= \frac{\cos \, x (1 — \cos \, x) — \sin^2 \, x}{\sin \, x (1 — \cos \, x)}
\)
Теперь упростим числитель:
\(
= \frac{\cos \, x — \cos^2 \, x — \sin^2 \, x}{\sin \, x (1 — \cos \, x)}
\)
Используя тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), заменим \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\(
= \frac{\cos \, x — 1}{\sin \, x (1 — \cos \, x)}
\)
Теперь заметим, что \( \cos x — 1 = — (1 — \cos x) \):
\(
= -\frac{1}{\sin \, x}
\)
Таким образом, результат:
\(
= -\csc \, x
\)
2)
\(
\frac{\sin \, \varphi}{1 + \cos \, \varphi} + \frac{1 — \cos \, \varphi}{\sin \, \varphi} = \frac{\sin^2 \, \varphi + (1 — \cos^2 \, \varphi)}{\sin \, \varphi (1 + \cos \, \varphi)}
\)
Упрощаем числитель:
\(
= \frac{\sin^2 \, \varphi + (1 — (1 — \sin^2 \, \varphi))}{\sin \, \varphi (1 + \cos \, \varphi)}
\)
Это даёт:
\(
= \frac{\sin^2 \, \varphi + \sin^2 \, \varphi}{\sin \, \varphi (1 + \cos \, \varphi)} = \frac{2\sin^2\,\varphi}{\sin\,\varphi(1+\cos\,\varphi)}
\)
Теперь упростим дробь:
\(
= \frac{2\sin\,\varphi}{1+\cos\,\varphi}
\)
Используя формулы половинного угла:
\(
= \frac{4\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{2\cos^2\frac{\varphi}{2}} = 2\tan\frac{\varphi}{2}
\)
Таким образом, результат:
\(
= 2\tan\frac{\varphi}{2}
\)
3)
\(
\sin^4 a — \sin^2 a + \cos^2 a = \sin^2 a (\sin^2 a — 1) + \cos^2 a =
\)
Заменим \( \sin^2 a — 1 \) на \( -\cos^2 a \):
\(
= \sin^2 a \cdot (-\cos^2 a) + \cos^2 a
\)
Теперь вынесем \( \cos^2 a \) за скобки:
\(
= \cos^2 a (1 — \sin^2 a)
\)
Используя тождество \( 1 — \sin^2 a = \cos^2 a \):
\(
= \cos^2 a \cdot \cos^2 a
\)
Таким образом, результат:
\(
= \cos^4 a
\)
4)
\(
\frac{\text{tg} \, a}{\text{tg} \, a + \text{ctg} \, a} = \frac{\text{tg}^2 \, a}{\text{tg}^2 \, a + 1}
\)
Заменим \( \text{tg} \, a = \frac{\sin a}{\cos a} \):
\(
= \frac{\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2}{\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2 + 1}
\)
Упрощаем дробь:
\(
= \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + 1}
\)
Теперь приведём к общему знаменателю в знаменателе:
\(
= \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\cos^2 a}}
\)
Используя тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\(
= \frac{\sin^2 a}{1}
\)
Таким образом, результат:
\(
= \sin^2 a
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.