Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.308 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( \cos^2(a) + 2\sin^2(a) + \sin^2(a) \tan^2(a) = \frac{1}{\cos^2(a)} \)
2) \( \tan^2(a) — \sin^2(a) = \tan^2(a) \sin^2(a) \)
3) \( 1 + (\cot^2(a) — \tan^2(a)) \cos^2(a) = \cot^2(a) \)
1)
\(
\cos^2 a + 2 \sin^2 a + \sin^2 a \, \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a};
\)
\(
\cos^2 a + \sin^2 a + \sin^2 a + \sin^2 a \, \tan^2 a = 1 + \tan^2 a;
\)
\(
1 + \sin^2 a \cdot (1 + \tan^2 a) = 1 + \tan^2 a;
\)
\(
1 + \sin^2 a \cdot \frac{1}{\cos^2 a} = 1 + \tan^2 a;
\)
\(
1 + \tan^2 a = 1 + \tan^2 a;
\)
Тождество доказано.
2)
\(
\tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
\(
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} — \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
\(
\sin^2 a \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} — 1\right) = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
\(
\sin^2 a \cdot (1 + \tan^2 a — 1) = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
\(
\tan^2 a \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
Тождество доказано.
3)
\(
1 + (\cot^2 a — \tan^2 a) \cos^2 a = \cot^2 a;
\)
\(
1 + \left(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\)
\(
1 + \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} — \sin^2 a = \cot^2 a;
\)
\(
\frac{\sin^2 a + \cos^4 a — \sin^4 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
\(
\frac{\sin^2 a (1 — \sin^2 a) + \cos^4 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
\(
\frac{\sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
\(
\frac{\cos^2 a (\sin^2 a + \cos^2 a)}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
\(
\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
\(
\cot^2 a = \cot^2 a;
\)
Тождество доказано.
1)
\(
\cos^2 a + 2 \sin^2 a + \sin^2 a \, \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a};
\)
Сначала упростим левую часть:
\(
\cos^2 a + \sin^2 a + \sin^2 a + \sin^2 a \, \tan^2 a = 1 + \tan^2 a;
\)
Теперь используем тождество \( \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \):
\(
1 + \sin^2 a \cdot (1 + \tan^2 a) = 1 + \tan^2 a;
\)
Заменим \( \tan^2 a \):
\(
1 + \sin^2 a \cdot \frac{1}{\cos^2 a} = 1 + \tan^2 a;
\)
Теперь у нас равенство:
\(
1 + \tan^2 a = 1 + \tan^2 a;
\)
Тождество доказано.
2)
\(
\tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
Заменим \( \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \):
\(
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} — \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
\sin^2 a \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} — 1\right) = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
Упрощаем левую часть:
\(
\sin^2 a \cdot (1 + \tan^2 a — 1) = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
Теперь у нас равенство:
\(
\tan^2 a \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a;
\)
Тождество доказано.
3)
\(
1 + (\cot^2 a — \tan^2 a) \cos^2 a = \cot^2 a;
\)
Заменим \( \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \) и \( \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \):
\(
1 + \left(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\)
Упрощаем:
\(
1 + \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} — \sin^2 a = \cot^2 a;
\)
Теперь у нас:
\(
\frac{\sin^2 a + \cos^4 a — \sin^4 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
Используем тождество \( 1 — \sin^2 a = \cos^2 a \):
\(
\frac{\sin^2 a (1 — \sin^2 a) + \cos^4 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
Теперь у нас:
\(
\frac{\sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
Вынесем \( \cos^2 a \):
\(
\frac{\cos^2 a (\sin^2 a + \cos^2 a)}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
Заметим, что \( 1 = \sin^2 a + \cos^2 a \):
\(
\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a;
\)
Теперь у нас:
\(
\cot^2 a = \cot^2 a;
\)
Тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.