ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.309 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
\(
3 \cos^2(a) + 2 \sin^2(a);
\)

2)
\(
3 \sin^2(a) — 2 \tan(a) \cot(a).
\)

1)
\(
3 \cos^2 a + 2 \sin^2 a;
\)

\(
3 \cos^2 a + 2 (1 — \cos^2 a);
\)

\(
3 \cos^2 a + 2 — 2 \cos^2 a;
\)

\(
\cos^2 a + 2;
\)

Множество значений:
\(
-1 \leq \cos a \leq 1;
\)

\(
0 \leq \cos^2 a \leq 1;
\)

\(
2 \leq \cos^2 a + 2 \leq 3;
\)

Ответ: 2; 3.

2)
\(
3 \sin^2 a — 2 \, \tan a \, \cot a;
\)

\(
3 \sin^2 a — 2;
\)

Область определения:
\(
x \neq \frac{\pi n}{2};
\)

Множество значений:
\(
-1 < \sin a < 1;
\)

\(
0 < \sin^2 a < 1;
\)

\(
0 < 3 \sin^2 a < 3;
\)

\(
-2 < 3 \sin^2 a — 2 < 1;
\)

Ответ: не существует.

1)
Рассмотрим выражение:
\(
3 \cos^2 a + 2 \sin^2 a;
\)

Заменим \(\sin^2 a\) на \(1 — \cos^2 a\):
\(
3 \cos^2 a + 2 (1 — \cos^2 a);
\)

Упрощаем:
\(
3 \cos^2 a + 2 — 2 \cos^2 a;
\)

Получаем:
\(
\cos^2 a + 2;
\)

Теперь найдем множество значений. Зная, что:
\(
-1 \leq \cos a \leq 1;
\)

Следовательно,
\(
0 \leq \cos^2 a \leq 1;
\)

Теперь подставим это в выражение:
\(
2 \leq \cos^2 a + 2 \leq 3;
\)

Таким образом, наименьшее значение равно 2, а наибольшее значение равно 3.
Ответ: 2; 3.

2)
Рассмотрим выражение:
\(
3 \sin^2 a — 2 \tan a \cot a;
\)

Заменим \(\tan a \cot a\) на 1:
\(
3 \sin^2 a — 2;
\)

Область определения:
\(
x \neq \frac{\pi n}{2};
\)

Теперь найдем множество значений. Зная, что:
\(
-1 < \sin a < 1;
\)

Следовательно,
\(
0 < \sin^2 a < 1;
\)

Теперь подставим это в выражение:
\(
0 < 3 \sin^2 a < 3;
\)

Таким образом, получаем:
\(
-2 < 3 \sin^2 a — 2 < 1;
\)

Ответ: не существует.