ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.310 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Упростите выражение:
\(
\sqrt{1 — \cos^2\left(\frac{a}{2}\right)} — \sqrt{1 — \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)}, \quad \text{если} \quad \pi < a < 2\pi;
\)

2)
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin a}{1 — \sin a}} + \sqrt{\frac{1 — \sin a}{1 + \sin a}}, \quad \text{если} \quad 180^\circ < a < 270^\circ.
\)

1)
\(
\sqrt{1 — \cos^2 \frac{a}{2}} — \sqrt{1 — \sin^2 \frac{a}{2}} = \sqrt{\sin^2 \frac{a}{2}} — \sqrt{\cos^2 \frac{a}{2}} =
\)

\(
= |\sin \frac{a}{2}| — |\cos \frac{a}{2}| = \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}, \quad \text{где } \pi < a < 2\pi;
\)

2)
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin a}{1 — \sin a}} + \sqrt{\frac{1 — \sin a}{1 + \sin a}} =
\)

\(
\sqrt{\frac{(1 + \sin a)^2}{1 — \sin^2 a}} + \sqrt{\frac{(1 — \sin a)^2}{1 — \sin^2 a}} =
\)

\(
\frac{|1 + \sin a|}{|\cos a|} + \frac{|1 — \sin a|}{|\cos a|} =
\)

\(
\frac{1 + \sin a}{-\cos a} + \frac{1 — \sin a}{-\cos a} = -\frac{2}{\cos a}, \quad \text{где } 180^\circ < a < 270^\circ;
\)

1)
Упростим выражение:
\(
\sqrt{1 — \cos^2 \frac{a}{2}} — \sqrt{1 — \sin^2 \frac{a}{2}} = \sqrt{\sin^2 \frac{a}{2}} — \sqrt{\cos^2 \frac{a}{2}} =
\)

Теперь используем свойства модулей:
\(
= |\sin \frac{a}{2}| — |\cos \frac{a}{2}|.
\)

Так как \( \pi < a < 2\pi \), то \( \frac{a}{2} \) находится в диапазоне \( \frac{\pi}{2} < \frac{a}{2} < \pi \), где синус положителен, а косинус отрицателен. Следовательно:
\(
|\sin \frac{a}{2}| = \sin \frac{a}{2}
\)
и
\(
|\cos \frac{a}{2}| = -\cos \frac{a}{2}.
\)

Таким образом, получаем:
\(
\sin \frac{a}{2} — (-\cos \frac{a}{2}) = \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}.
\)

Ответ:
\(
\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}, \quad \text{где } \pi < a < 2\pi.
\)

2)
Упростим выражение:
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin a}{1 — \sin a}} + \sqrt{\frac{1 — \sin a}{1 + \sin a}} =
\)

Сначала упростим каждую из дробей:
\(
= \sqrt{\frac{(1 + \sin a)^2}{1 — \sin^2 a}} + \sqrt{\frac{(1 — \sin a)^2}{1 — \sin^2 a}} =
\)

Теперь используем тождество \( 1 — \sin^2 a = \cos^2 a \):
\(
= \sqrt{\frac{(1 + \sin a)^2}{\cos^2 a}} + \sqrt{\frac{(1 — \sin a)^2}{\cos^2 a}} =
\)

Это можно записать как:
\(
= \frac{|1 + \sin a|}{|\cos a|} + \frac{|1 — \sin a|}{|\cos a|} =
\)

Теперь объединим дроби:
\(
= \frac{|1 + \sin a| + |1 — \sin a|}{|\cos a|}.
\)

В диапазоне \( 180^\circ < a < 270^\circ \), синус отрицателен, и косинус также отрицателен, поэтому:
\(
|1 + \sin a| = 1 + \sin a
\)
и
\(
|1 — \sin a| = -(1 — \sin a) = -1 + \sin a.
\)

Таким образом, получаем:
\(
= \frac{(1 + \sin a) + (-1 + \sin a)}{-\cos a} =
\)

Упрощаем:
\(
= \frac{2\sin a}{-\cos a} = -\frac{2}{\cos a}.
\)

Ответ:
\(
-\frac{2}{\cos a}, \quad \text{где } 180^\circ < a < 270^\circ.
\)