ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.311 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:
\(
\sin a + \cos a = b.
\)
Найдите:
\(
\frac{1}{\sin^4 a} + \frac{1}{\cos^4 a}.
\)

Известно, что:
\(
\sin a + \cos a = b;
\)

\(
\frac{1}{\sin^4 a} + \frac{1}{\cos^4 a} = \frac{\cos^4 a + \sin^4 a}{\sin^4 a \cos^4 a} =
\)

\(
= \frac{(\cos^2 a + \sin^2 a)^2 — 2 \cos^2 a \sin^2 a}{(\sin a \cos a)^4} =
\)

\(
= \frac{1^2 — 2 \left(\frac{1}{2}(\sin^2 a + 2 \cos a \sin a + \cos^2 a — 1)\right)^2}{\left(\frac{1}{2}(\sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a — 1)\right)^4} =
\)

\(
= \frac{1 — 2 \cdot \frac{1}{4} ((\sin a + \cos a)^2 — 1)^2}{\frac{1}{16} ((\sin a + \cos a)^2 — 1)^4} = \frac{16 — 8 (b^2 — 1)^2}{(b^2 — 1)^4} =
\)

\(
= \frac{8 (2 — b^4 + 2 b^2 — 1)}{(b^2 — 1)^4} = \frac{8 (1 — b^4 + 2 b^2)}{(b^2 — 1)^4};
\)

Ответ:
\(
\frac{8 (1 — b^4 + 2 b^2)}{(b^2 — 1)^4}.
\)

Известно, что:
\(
\sin a + \cos a = b;
\)

Нам нужно найти:
\(
\frac{1}{\sin^4 a} + \frac{1}{\cos^4 a}.
\)

Сначала запишем это выражение в виде дроби:
\(
\frac{1}{\sin^4 a} + \frac{1}{\cos^4 a} = \frac{\cos^4 a + \sin^4 a}{\sin^4 a \cos^4 a}.
\)

Теперь упростим числитель:
\(
\cos^4 a + \sin^4 a = (\cos^2 a + \sin^2 a)^2 — 2 \cos^2 a \sin^2 a.
\)

Так как \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), то получаем:
\(
= 1^2 — 2 \cos^2 a \sin^2 a.
\)

Теперь подставим это в наше выражение:
\(
\frac{1 — 2 \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a \cos^4 a}.
\)

Теперь выразим \(\cos^2 a \sin^2 a\) через \(b\):
\(\sin a + \cos a = b\)
\(\Rightarrow (\sin a + \cos a)^2 = b^2\)
\(\Rightarrow \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = b^2.\)

Так как \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), имеем:
\(
1 + 2 \sin a \cos a = b^2.
\)

Отсюда:
\(
2 \sin a \cos a = b^2 — 1.
\)

Следовательно:
\(\sin^2 a \cos^2 a = \left(\frac{1}{2}(b^2 — 1)\right)^2.\)

Теперь подставим это обратно в выражение:
\(
= \frac{1 — 2 \cdot \left(\frac{1}{2}(b^2 — 1)\right)^2}{\left(\frac{1}{2}(b^2 — 1)\right)^4}.
\)

Упрощаем числитель:
\(
= \frac{1 — 2 \cdot \frac{1}{4} (b^2 — 1)^2}{\frac{1}{16} (b^2 — 1)^4} = \frac{16 — 8 (b^2 — 1)^2}{(b^2 — 1)^4}.
\)

Теперь упростим числитель:
\(
= \frac{8(2 — (b^2 — 1)^2)}{(b^2 — 1)^4} = \frac{8(1 — b^4 + 2 b^2)}{(b^2 — 1)^4}.
\)

Таким образом, ответ:
\(
\frac{8(1 — b^4 + 2 b^2)}{(b^2 — 1)^4}.
\)