ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.312 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:
\(
\tan a + \cot a = b.
\)
Найдите:
\(
\tan^4 a + \cot^4 a.
\)

Известно, что:
\(
\tan a + \cot a = b;
\)

\(
\tan^4 a + \cot^4 a = (\tan^2 a + \cot^2 a)^2 — 2 \tan^2 a \cdot \cot^2 a =
\)

\(
= \big((\tan a + \cot a)^2 — 2 \tan a \cdot \cot a \big)^2 — 2 \cdot 1^2 =
\)

\(
= (b^2 — 2 \cdot 1)^2 — 2 = b^4 — 4 b^2 + 4 — 2 = b^4 — 4 b^2 + 2;
\)

Ответ:
\(
b^4 — 4 b^2 + 2.
\)

Известно, что:
\(
\tan a + \cot a = b;
\)

Нам нужно найти:
\(
\tan^4 a + \cot^4 a.
\)

Используем формулу для суммы четвёртых степеней:
\(
\tan^4 a + \cot^4 a = (\tan^2 a + \cot^2 a)^2 — 2 \tan^2 a \cdot \cot^2 a.
\)

Теперь найдем \(\tan^2 a + \cot^2 a\) и \(\tan^2 a \cdot \cot^2 a\).
Сначала выразим \(\tan^2 a + \cot^2 a\):
\(
\tan^2 a + \cot^2 a = (\tan a + \cot a)^2 — 2 \tan a \cdot \cot a.
\)

Подставим известное значение:
\(
= b^2 — 2 \cdot 1,
\)
где \(1 = \tan a \cdot \cot a\).

Теперь подставим это в выражение для четвёртых степеней:
\(
\tan^4 a + \cot^4 a = ((b^2 — 2)^2 — 2).
\)

Теперь упростим:
\(
= (b^2 — 2)^2 — 2 = (b^2 — 2)(b^2 — 2) — 2.
\)

Раскроем скобки:
\(
= b^4 — 4b^2 + 4 — 2 = b^4 — 4b^2 + 2.
\)

Таким образом, ответ:
\(
b^4 — 4b^2 + 2.
\)