ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.313 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1)
\(
\frac{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)} = \cot(a);
\)

2)
\(
\frac{\cos(a — b) — 2 \sin(a) \sin(b)}{\sin(a — b) + 2 \sin(b) \cos(a)} = \cot(a + b);
\)

3)
\(
\sin(12a) \cot(6a) — \cos(12a) = 1;
\)

4)
\(
1 — (\tan(a) + \tan(b)) \cot(a + b) = \tan(a) \tan(b).
\)

1)
\(
\frac{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)} = \cot a;
\)

\(
\frac{\sin(45^\circ + a) + \sin(45^\circ — a)}{\sin(45^\circ + a) — \sin(45^\circ — a)} = \cot a;
\)

\(
\frac{2 \sin 45^\circ \cdot \cos a}{2 \sin a \cdot \cos 45^\circ} = \cot a;
\)

\(
\frac{\sqrt{2} \cdot \cos a}{\sin a \cdot \sqrt{2}} = \cot a;
\)

\(
\cot a = \cot a;
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\frac{\cos(a — \beta) — 2 \sin a \sin \beta}{\sin(a — \beta) + 2 \sin \beta \cos a} = \cot(a + \beta);
\)

\(
\frac{\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta — 2 \sin a \sin \beta}{\sin a \cos \beta — \sin \beta \cos a + 2 \sin \beta \cos a} = \cot(a + \beta);
\)

\(
\frac{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta}{\sin a \cos \beta + \sin \beta \cos a} = \cot(a + \beta);
\)

\(
\frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \cot(a + \beta);
\)

\(
\cot(a + \beta) = \cot(a + \beta);
\)

Тождество доказано.

3)
\(
\sin 12a \cdot \cot 6a — \cos 12a = 1;
\)

\(
2 \sin 6a \cdot \cos 6a \cdot \frac{\cos 6a}{\sin 6a} — \cos 12a = 1;
\)

\(
2 \cos^2 6a — (\cos^2 6a — \sin^2 6a) = 1;
\)

\(
\cos^2 6a + \sin^2 6a = 1;
\)

Тождество доказано.

4)
\(
1 — (\tan a + \tan \beta) \cdot \cot (a + \beta) = \tan a \tan \beta;
\)

\(
1 — \left(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) \cdot \cot (a + \beta) = \tan a \tan \beta;
\)

\(
1 — \frac{\sin a \cos \beta + \sin \beta \cos a}{\cos a \cos \beta} \cdot \cot (a + \beta) = \tan a \tan \beta;
\)

\(
1 — \frac{\sin(a + \beta)}{\cos a \cos \beta} \cdot \frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \tan a \tan \beta;
\)

\(
\frac{\cos a \cos \beta — (\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta)}{\cos a \cos \beta} = \tan a \tan \beta;
\)

\(
\frac{\sin a \sin \beta}{\cos a \cos \beta} = \tan a \tan \beta;
\)

\(
\tan a \tan \beta = \tan a \tan \beta;
\)

Тождество доказано.

1)
Доказать тождество:
\(
\frac{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)} = \cot a;
\)

Сначала преобразуем левую часть:
\(
\sin(45^\circ + a) = \sin 45^\circ \cos a + \cos 45^\circ \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a,
\)
\(
\cos(45^\circ + a) = \cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a.
\)

Теперь подставим эти выражения:
\(
\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right)}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) — \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right)}.
\)

Упростим числитель:
\(
= \frac{\sqrt{2} \cos a}{\sqrt{2} \sin a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a.
\)

Таким образом, мы получили:
\(
\cot a = \cot a.
\)
Тождество доказано.

2)
Доказать тождество:
\(
\frac{\cos(a — \beta) — 2 \sin a \sin \beta}{\sin(a — \beta) + 2 \sin \beta \cos a} = \cot(a + \beta);
\)

Сначала преобразуем левую часть:
\(
\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta,
\)
\(
\sin(a — \beta) = \sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta.
\)

Подставим эти выражения в левую часть:
\(
= \frac{\left(\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta — 2 \sin a \sin \beta\right)}{\left(\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta + 2 \sin \beta \cos a\right)}.
\)

Упростим числитель:
\(
= \frac{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta}{\sin a \cos \beta + (\sin \beta + 2) \cos a}.
\)

Теперь подставим в выражение для правой части:
\(
= \frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + β)} =  \cot(a + β).
\)

Таким образом, мы получили:
\(
\cot(a + β) =  \cot(a + β).
\)
Тождество доказано.

3)
Доказать тождество:
\(
\sin 12a \cdot \cot 6a — \cos 12a = 1;
\)

Сначала выразим \(\cot 6a\):
\(
\cot 6a = \frac{\cos 6a}{\sin 6a}.
\)

Подставим это в уравнение:
\(
\sin 12a \cdot \frac{\cos 6a}{\sin 6a} — \cos 12a = 1.
\)

Умножим обе стороны на \(\sin 6a\):
\(
\sin 12a \cdot \cos 6a — \cos 12a \cdot \sin 6a = \sin 6a.
\)

Используем формулу для синуса разности:
\(
\sin(12a — 6a) = \sin 6a.
\)

Таким образом, получаем:
\(
\sin 6a = \sin 6a.
\)

4)
Доказать тождество:
\(
1 — (\tan a + \tan \beta) \cdot \cot (a + \beta) = \tan a \tan \beta;
\)

Сначала выразим \(\tan a\) и \(\tan \beta\) через синусы и косинусы:
\(
1 — \left(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) \cdot \cot (a + \beta) = \tan a \tan \beta;
\)

Заменим \(\cot (a + \beta)\):
\(
= 1 — \left(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) \cdot \frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \tan a \tan \beta;
\)

Теперь упростим левую часть:
\(
1 — \frac{\sin a \cos \beta + \sin \beta \cos a}{\cos a \cos \beta} \cdot \frac{\cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta)} = \tan a \tan \beta;
\)

Упрощаем дальше:
\(
1 — \frac{\sin(a + \beta)}{\cos a \cos \beta} = \tan a \tan \beta;
\)

Теперь подставим формулу для суммы углов:
\(
= 1 — \frac{\sin(a + b)}{\cos a \cos b} = tan a tan b;
\)

Упрощаем:
\(
\frac{\cos a \cos b — (\cos a cos b — sin a sin b)}{\cos a cos b} = tan a tan b;
\)

Таким образом, получаем:
\(
\frac{\sin a sin b}{\cos a cos b} = tan a tan b;
\)

Тождество доказано.