ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.315 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения:

1)
\(
\sqrt{3} \sin(a) — \cos(a);
\)

2)
\(
4 \sin(a) — 3 \cos(a).
\)

1)
\(
\sqrt{3} \sin a — \cos a = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a \right) =
\)

\(
2 \left(\cos \frac{\pi}{6} \sin a — \sin \frac{\pi}{6} \cos a \right) = 2 \sin \left(a — \frac{\pi}{6}\right);
\)

Ответ: 2.

2)
\(
4 \sin a — 3 \cos a = 5 \left(\frac{4}{5} \sin a — \frac{3}{5} \cos a \right) =
\)

\(
5 \left(\cos(\arccos \frac{4}{5}) \sin a — \sin(\arccos \frac{4}{5}) \cos a \right) =
\)

\(
5 \sin \left(a — \arccos \frac{4}{5}\right);
\)

Ответ: 5.

Найти наибольшее значение:

1)
Рассмотрим выражение:
\(
\sqrt{3} \sin a — \cos a.
\)

Мы можем вынести коэффициент 2:
\(
= 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a \right).
\)

Теперь заметим, что
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}\) и \(\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\).
Тогда мы можем записать:
\(
= 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} \sin a — \sin \frac{\pi}{6} \cos a \right).
\)

Используем формулу для синуса разности:
\(
= 2 \sin \left(a — \frac{\pi}{6}\right).
\)

Наибольшее значение функции \(\sin\) равно 1, следовательно:
\(
\text{Ответ: } 2.
\)

2)
Теперь рассмотрим выражение:
\(
4 \sin a — 3 \cos a.
\)

Мы можем также вынести коэффициент 5:
\(
= 5 \left(\frac{4}{5} \sin a — \frac{3}{5} \cos a \right).
\)

Здесь мы можем заметить, что
\(\frac{4}{5} = \cos(\arccos \frac{4}{5})\) и \(\frac{3}{5} = \sin(\arccos \frac{4}{5})\).
Тогда мы можем записать:
\(
= 5 \left(\cos(\arccos \frac{4}{5}) \sin a — \sin(\arccos \frac{4}{5}) \cos a \right).
\)

Используем формулу для синуса разности:
\(
= 5 \sin \left(a — \arccos \frac{4}{5}\right).
\)

Наибольшее значение функции \(\sin\) равно 1, следовательно:
\(
\text{Ответ: } 5.
\)