ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.318 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:
\(
\tan(5^\circ + a) = \frac{1}{3}, \quad 0^\circ < a < 40^\circ.
\)
Найдите \(\cos(50^\circ + a).\)

Известно, что: \(\tan(5^\circ + a) = \frac{1}{3}\) и \(0^\circ < a < 40^\circ\);

1) Значения косинуса и синуса:

\(
\cos(5^\circ + a) = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2(5^\circ + a)}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};
\)

\(
\sin(5^\circ + a) = \tan(5^\circ + a) \cdot \cos(5^\circ + a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}};
\)

2) Искомое значение:

\(
\cos(50^\circ + a) = \cos(45^\circ + (5^\circ + a)) =
\)

\(
= \cos 45^\circ \cos(5^\circ + a) — \sin 45^\circ \sin(5^\circ + a) =
\)

\(
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} — \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5};
\)

Ответ:
\(
\frac{\sqrt{5}}{5}.
\)

Известно, что:
\(\tan(5^\circ + a) = \frac{1}{3}\) и \(0^\circ < a < 40^\circ\);

1) Найдем значения косинуса и синуса:

Сначала найдем \(\cos(5^\circ + a)\):
\(
\cos(5^\circ + a) = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2(5^\circ + a)}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}.
\)

Теперь найдем \(\sin(5^\circ + a)\):
\(
\sin(5^\circ + a) = \tan(5^\circ + a) \cdot \cos(5^\circ + a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}.
\)

2) Теперь найдем искомое значение \(\cos(50^\circ + a)\):

Используем формулу для косинуса суммы:
\(
\cos(50^\circ + a) = \cos(45^\circ + (5^\circ + a)) =
\)

\(
= \cos 45^\circ \cos(5^\circ + a) — \sin 45^\circ \sin(5^\circ + a).
\)

Подставим найденные значения:
\(
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}.
\)

Упрощаем:
\(
= \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} — \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}.
\)

Преобразуем:
\(
= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5}.
\)

Ответ:
\(
\frac{\sqrt{5}}{5}.
\)