ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.319 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:
\(
\tan(a) = 5, \quad \cot(b) = \frac{2}{3}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < b < \frac{\pi}{2}.
\)
Докажите, что
\(
a + b = \frac{3\pi}{4}.
\)

Известно следующее:
\(
\tan a = 5, \quad \cot \beta = \frac{2}{3};
\)

\(
0 < a < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2};
\)

1) Значение тангенса:

\(
\tan \beta = \frac{1}{\cot \beta} = \frac{3}{2};
\)

2) Значение суммы:

\(
\tan(a + \beta) = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \tan \beta} = \frac{5 + \frac{3}{2}}{1 — 5 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\frac{10}{2} + \frac{3}{2}}{1 — \frac{15}{2}} = \frac{\frac{13}{2}}{\frac{2}{2} — \frac{15}{2}} = \frac{13/2}{-13/2} = -1;
\)

\(
a + \beta = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad 0 < a + \beta < \pi;
\)

\(
a + \beta = \frac{3\pi}{4}.
\)

Что и требовалось доказать.

Известно следующее:
\(
\tan a = 5, \quad \cot \beta = \frac{2}{3};
\)

\(
0 < a < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2};
\)

1) Найдем значение тангенса угла \(\beta\):

Используем определение котангенса:
\(
\tan \beta = \frac{1}{\cot \beta} = \frac{3}{2};
\)

2) Теперь найдем значение суммы углов \(a + \beta\):

Используем формулу для тангенса суммы:
\(
\tan(a + \beta) = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \tan \beta}.
\)

Подставим известные значения:
\(
\tan(a + \beta) = \frac{5 + \frac{3}{2}}{1 — 5 \cdot \frac{3}{2}}.
\)

Сначала упростим числитель:
\(
= \frac{\frac{10}{2} + \frac{3}{2}}{1 — 5 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\frac{13}{2}}{1 — \frac{15}{2}}.
\)

Теперь упростим знаменатель:
\(
= 1 — \frac{15}{2} = \frac{2}{2} — \frac{15}{2} = -\frac{13}{2}.
\)

Теперь подставим это в формулу:
\(
\tan(a + \beta) = \frac{\frac{13}{2}}{-\frac{13}{2}} = -1.
\)

Зная, что
\(\tan(a + \beta) = -1,\)
мы можем записать:
\(
a + \beta = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad 0 < a + \beta < \pi.
\)

Поскольку \(n = 0\), то получаем:
\(
a + \beta = \frac{3\pi}{4}.
\)

Что и требовалось доказать.