ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.320 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите
\(
(1 + \tan(a))(1 + \tan(b)),
\)
если
\(
a + b = \frac{\pi}{4}, \quad a > 0, \quad b > 0.
\)

Известно следующее:
\(
a + \beta = \frac{\pi}{4}, \quad a > 0, \quad \beta > 0;
\)

1) Значение тангенса:

\(
\tan \beta = \tan\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} — \tan a}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan a} = \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a};
\)

2) Искомое значение:

\(
(1 + \tan a)(1 + \tan \beta) = (1 + \tan a) \left(1 + \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a}\right) =
\)

\(
= (1 + \tan a) \cdot \frac{1 + \tan a + 1 — \tan a}{1 + \tan a} = 2;
\)

Ответ:
\(
2.
\)

Известно следующее:
\(
a + \beta = \frac{\pi}{4}, \quad a > 0, \quad \beta > 0;
\)

1) Найдем значение тангенса угла \(\beta\):

Используем формулу для тангенса разности:
\(
\tan \beta = \tan\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} — \tan a}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan a}.
\)

Подставим значение \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\):
\(
\tan \beta = \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a}.
\)

2) Теперь найдем искомое значение:

Вычислим выражение:
\(
(1 + \tan a)(1 + \tan \beta) = (1 + \tan a) \left(1 + \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a}\right).
\)

Упростим выражение внутри скобок:
\(
= (1 + \tan a) \left(1 + \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a}\right) = (1 + \tan a) \cdot \frac{(1 + \tan a) + (1 — \tan a)}{1 + \tan a}.
\)

Теперь упростим числитель:
\(
= (1 + \tan a) \cdot \frac{1 + \tan a + 1 — \tan a}{1 + \tan a} = (1 + \tan a) \cdot \frac{2}{1 + \tan a}.
\)

Так как \(1 + \tan a\) в числителе и знаменателе сокращается, получаем:
\(
= 2.
\)

Ответ:
\(
2.
\)