ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.321 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите
\(
(1 + \cot(a))(1 + \cot(b)),
\)
если
\(
a + b = \frac{3\pi}{4}, \quad a > 0, \quad b > 0.
\)

Известно следующее:
\(
a + \beta = \frac{3\pi}{4}, \quad a > 0, \quad \beta > 0;
\)

1) Значение тангенса:

\(
\cot \beta = \cot\left(\frac{3\pi}{4} — a\right) = \frac{1 + \tan \frac{3\pi}{4} \cdot \tan a}{\tan \frac{3\pi}{4} — \tan a} = \frac{1 — \tan a}{-1 — \tan a};
\)

2) Искомое значение:

\(
(1 + \cot a)(1 + \cot \beta) = \left(1 + \frac{1}{\tan a}\right) \left(1 + \frac{1 — \tan a}{-1 — \tan a}\right) =
\)

\(
= \frac{1 + \tan a}{\tan a} \cdot \frac{-1 — \tan a + 1 — \tan a}{-1 — \tan a} = \frac{1 + \tan a}{\tan a} \cdot \frac{-2 \tan a}{-1 — \tan a} = 2;
\)

Ответ:
\(
2.
\)

Известно следующее:
\(
a + \beta = \frac{3\pi}{4}, \quad a > 0, \quad \beta > 0;
\)

1) Найдем значение котангенса угла \(\beta\):

Используем формулу для котангенса разности углов:
\(
\cot \beta = \cot\left(\frac{3\pi}{4} — a\right) = \frac{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \tan a}{\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) — \tan a}.
\)

Значение \(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1\), поэтому подставляем это значение:
\(
\cot \beta = \frac{1 — \tan a}{-1 — \tan a}.
\)

2) Теперь найдем искомое значение:

Вычислим выражение:
\(
(1 + \cot a)(1 + \cot \beta) = \left(1 + \frac{1}{\tan a}\right) \left(1 + \frac{1 — \tan a}{-1 — \tan a}\right).
\)

Упрощаем первое выражение:
\(
= \frac{1 + \tan a}{\tan a} \cdot \left(1 + \frac{1 — \tan a}{-1 — \tan a}\right).
\)

Теперь упростим второе выражение:
\(
= \frac{1 + \tan a}{\tan a} \cdot \frac{-1 — \tan a + 1 — \tan a}{-1 — \tan a}.
\)

Соберем подобные слагаемые в числителе:
\(
= \frac{1 + \tan a}{\tan a} \cdot \frac{-2\tan a}{-1 — \tan a}.
\)

Теперь сократим:
\(
= \frac{1 + \tan a}{\tan a} \cdot \frac{2\tan a}{1 + \tan a} = 2.
\)

Ответ:
\(
2.
\)