ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.322 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
\sin\left(a + \frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\pi — a\right) + \cos\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) \sin\left(2\pi — a\right);
\)

2)
\(
\frac{\sin(180^\circ — a) \cos(180^\circ + a) \tan(180^\circ — a)}{\sin(270^\circ — a) \cot(270^\circ + a) \cos(90^\circ + a)};
\)

3)
\(
\left(\tan\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) \sin(2\pi — a) + \sin(3\pi — a)\right)^2 — \frac{2 \cos^2(\pi — a)}{\cot(a — \pi)};
\)

4)
\(
\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cot^2\left(x — 2\pi\right)} + \frac{\sin^2(-x)}{\cot^2\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)};
\)

5)
\(
\frac{\tan\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cos(2\pi — a)}{\cot(\pi + a) \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)};
\)

6)
\(
\frac{\sin(\pi + a)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)} — \frac{\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)}{\cot(\pi — a)} + \tan(\pi — a).
\)

1)
\(
\sin\left(a + \frac{\pi}{2}\right) \cos(\pi — a) + \cos\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) \sin(2\pi — a) =
\)
\(
= \cos a \cdot (-\cos a) + \sin a \cdot (-\sin a) = -(\cos^2 a + \sin^2 a) = -1;
\)

Ответ: \(-1\).

2)
\(
\frac{\sin(180^\circ — a) \cos(180^\circ + a) \tan(180^\circ — a)}{\sin(270^\circ — a) \cot(270^\circ + a) \cos(90^\circ + a)} =
\)
\(
= \frac{\sin a \cdot (-\cos a) \cdot (-\tan a)}{-\cos a \cdot (-\tan a) \cdot (-\sin a)} = -1;
\)

Ответ: \(-1\).

3)
\(
\left(\tan\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) \sin(2\pi — a) + \sin(3\pi — a)\right)^2 — \frac{2 \cos^2( \pi — a)}{\cot(a — \pi)} =
\)
\(
= \left((- \cot a) \cdot (-\sin a) + \sin a\right)^2 — \frac{2 \cos^2 a}{\cot a} =
\)
\(
= \left(\frac{\cos a}{\sin a} \sin a + \sin a\right)^2 — 2 \cos^2 a \cdot \frac{\cos a}{\sin a} =
\)
\(
= (\cos a + \sin a)^2 — 2 \cos a \sin a =
\)
\(
= \cos^2 a + 2 \cos a \sin a + \sin^2 a — 2 \cos a \sin a = 1;
\)

Ответ: \(1\).

4)
\(
\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cot^2(x — 2\pi)} + \frac{\sin^2(-x)}{\cot^2\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)} = \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\tan^2 x} =
\)
\(
= \cos^2 x : \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \sin^2 x : \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x + \cos^2 x = 1;
\)

Ответ: 1.

5)
\(
\frac{\tan\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cos(2\pi — a)}{\cot(\pi + a) \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)} =
\)
\(
= \frac{\cot a \cdot (-\sin a) \cdot \cos a}{\cot a \cdot (-\cos a)} = \sin a;
\)

Ответ: \(\sin a\).

6)
\(
\frac{\sin(\pi + a)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)} \cdot \frac{\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)}{\cot(\pi — a)} + \tan(\pi — a) =
\)
\(
= \frac{-\sin a}{-\cos a} \cdot \frac{\cot a}{-\cot a} + (-\tan a) = \tan a — 1 — \tan a = -1;
\)

Ответ: \(-1\).

1)
\(
\sin\left(a + \frac{\pi}{2}\right) \cos(\pi — a) + \cos\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) \sin(2\pi — a) =
\)
\(
= \cos a \cdot (-\cos a) + \sin a \cdot (-\sin a).
\)

Теперь упростим каждое слагаемое:
\(
= -\cos^2 a — \sin^2 a.
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:
\(
= -(\cos^2 a + \sin^2 a) = -1.
\)

Ответ: \(-1\).

2)
\(
\frac{\sin(180^\circ — a) \cos(180^\circ + a) \tan(180^\circ — a)}{\sin(270^\circ — a) \cot(270^\circ + a) \cos(90^\circ + a)} =
\)
\(
= \frac{\sin a \cdot (-\cos a) \cdot (-\tan a)}{-\cos a \cdot (-\tan a) \cdot (-\sin a)}.
\)

Упрощаем выражение:
\(
= \frac{\sin a \cdot \cos a \cdot \tan a}{\cos a \cdot \tan a \cdot \sin a} = -1.
\)

Ответ: \(-1\).

3)
\(
\left(\tan\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) \sin(2\pi — a) + \sin(3\pi — a)\right)^2 — \frac{2 \cos^2(\pi — a)}{\cot(a — \pi)} =
\)
\(
= \left((- \cot a) \cdot (-\sin a) + \sin a\right)^2 — \frac{2 \cos^2 a}{\cot a}.
\)

Упрощаем первое слагаемое:
\(
= \left(\frac{\cos a}{\sin a} \sin a + \sin a\right)^2 — 2 \cos^2 a \cdot \frac{\cos a}{\sin a}.
\)

Теперь упростим:
\(
= (\cos a + \sin a)^2 — 2 \cos a \sin a.
\)

Раскроем скобки:
\(
= \cos^2 a + 2 \cos a \sin a + \sin^2 a — 2 \cos a \sin a.
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:
\(
= 1.
\)

Ответ: \(1\).

4)
\(
\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cot^2(x — 2\pi)} + \frac{\sin^2(-x)}{\cot^2\left(x — \frac{3\pi}{2}\right)} =
\)
Заменим тригонометрические функции:
\(
= \frac{\cos^2 x}{\cot^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\tan^2 x} =
\)
Используем определение котангенса и тангенса:
\(
= \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} + \frac{\sin^2 x}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} =
\)
Упрощаем дроби:
\(
= \sin^2 x + \cos^2 x = 1.
\)

Ответ: 1.

5)
\(
\frac{\tan\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cos(2\pi — a)}{\cot(\pi + a) \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)} =
\)
Заменим тригонометрические функции:
\(
= \frac{\cot a \cdot (-\sin a) \cdot \cos a}{\cot a \cdot (-\cos a)} =
\)
Упрощаем выражение:
\(
= \sin a.
\)

Ответ: \(\sin a\).

6)
\(
\frac{\sin(\pi + a)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)} \cdot \frac{\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)}{\cot(\pi — a)} + \tan(\pi — a) =
\)
Заменим тригонометрические функции:
\(
= \frac{-\sin a}{-\cos a} \cdot \frac{\cot a}{-\cot a} + (-\tan a) =
\)
Упрощаем выражение:
\(
= \tan a — 1 — \tan a = -1.
\)

Ответ: \(-1\).