ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.324 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
4 \sin(a) \cos^3(a) — 4 \sin^3(a) \cos(a);
\)

2)
\(
\sin\left(\frac{a}{4}\right) \cos\left(\frac{a}{4}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right);
\)

3)
\(
\frac{\sin(6a)}{\sin(2a)} + \frac{\cos(6a)}{\cos(2a)};
\)

4)
\(
\frac{\cot(a) + \tan(a)}{\cot(a) — \tan(a)};
\)

5)
\(
\frac{\cos(a)}{\tan^2\left(\frac{a}{2}\right) — \cot^2\left(\frac{a}{2}\right)};
\)

6)
\(
\frac{1 — 2 \sin^2(2a)}{2 \tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \cos^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)};
\)

7)
\(
\frac{2 \cos^2(a) — 1}{2 \cot\left(\frac{\pi}{4} — a\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — a\right)};
\)

8)
\(
\frac{\cos^4(a — \pi)}{\cos^4(a — \frac{3\pi}{2}) + \sin^4(a + \frac{3\pi}{2}) — 1}.
\)

1)
\(
4 \sin a \cos^3 a — 4 \sin^3 a \cos a =
\)
\(
= 4 \sin a \cos a \cdot (\cos^2 a — \sin^2 a) =
\)
\(
= 2 \cos 2a \cdot \cos 2a = \sin 4a;
\)

Ответ: \(\sin 4a\).

2)
\(
\sin \frac{a}{4} \cos \frac{a}{4} \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{4} \sin a;
\)

Ответ: \(\frac{1}{4} \sin a\).

3)
\(
\frac{\sin 6a}{\sin 2a} + \frac{\cos 6a}{\cos 2a} = \frac{\sin 6a \cos 2a + \cos 6a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a} = \frac{\sin(6a + 2a)}{\sin 2a \cos 2a} =
\)
\(
= \frac{\sin 8a}{\sin 2a \cos 2a} = \frac{2 \sin 4a \cos 4a}{\frac{1}{2} \sin 4a} = 4 \cos 4a;
\)

Ответ: \(4 \cos 4a\).

4)
\(
\frac{\cot a + \tan a}{\cot a — \tan a} = \frac{1 + \tan^2 a}{1 — \tan^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a} \cdot (2 — \frac{1}{\cos^2 a}) =
\)
\(
= \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \frac{2 \cos^2 a — 1}{\cos^2 a} = \frac{1}{2 \cos^2 a — 1} = \frac{1}{\cos 2a};
\)

Ответ: \(\frac{1}{\cos 2a}\).

5)
\(
\frac{\cos a}{\tan^2 \frac{a}{2} — \cot^2 \frac{a}{2}} = \frac{\cos a}{\frac{1 — \cos a}{1 + \cos a} — \frac{1 + \cos a}{1 — \cos a}} =
\)
\(
= \cos a \cdot \frac{(1 — \cos a)^2 — (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a)(1 — \cos a)} =
\)
\(
= \cos a \cdot \frac{1 — 2 \cos a + \cos^2 a — 1 — 2 \cos a — \cos^2 a}{1 — \cos^2 a} =
\)
\(
= \cos a \cdot \frac{-4 \cos a}{\sin^2 a} = -\frac{1}{4} \sin^2 a;
\)

Ответ: \(-\frac{1}{4} \sin^2 a\).

6)
\(
\frac{1 — 2 \sin^2 2a}{2 \tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)} \cdot \cos 4a =
\)
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)} =
\)
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \sin^2\left(\frac{3\pi}{2} — \left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right)\right)} =
\)
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \cos^2\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right)} =
\)
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \sin\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \cos\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right)} =
\)
\(
= \frac{\cos 4a}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4a\right)} = \frac{\cos 4a}{-\cos 4a} = -1;
\)

Ответ: \(-1\).

(Опечатка в условии).

7)
\(
\frac{2 \cos^2 a — 1}{2 \cot\left(\frac{\pi}{4} — a\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — a\right)} =
\frac{\cos 2a}{2 \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)} =
\)
\(
= \frac{\cos 2a}{\sin\left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)} = \frac{\cos 2a}{\cos 2a} = 1;
\)

Ответ: 1.

8)
\(
\frac{\cos^4(a — \pi)}{\cos^4\left(a — \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) — 1} =
\frac{\cos^4 a}{\sin^4 a + \cos^4 a — 1} =
\)
\(
= \frac{\cos^4 a}{\cos^4 a + (1 — \sin^2 a)(1 + \sin^2 a)} = \frac{\cos^4 a}{\cos^4 a — \cos^2 a(1 + \sin^2 a)} =
\)
\(
= \frac{\cos^4 a}{\cos^2 a (\cos^2 a — 1 — \sin^2 a)} = \frac{\cos^4 a}{\cos^2 a (\cos 2a — 1 — 2 \sin^2 a)} =
\)
\(
= \frac{\cos^2 a}{\cos 2a — 1 — 2 \sin^2 a} = -\frac{1}{2} \cot^2 a;
\)

Ответ: \(-\frac{1}{2} \cot^2 a\).

1)
\(
4 \sin a \cos^3 a — 4 \sin^3 a \cos a =
\)
Сначала выделим общий множитель:
\(
= 4 \sin a \cos a (\cos^2 a — \sin^2 a) =
\)
Используем формулу косинуса двойного угла:
\(
= 4 \sin a \cos a \cdot \cos 2a =
\)
Теперь применим формулу для синуса двойного угла:
\(
= 2 \cdot 2 \sin a \cos a \cdot \cos 2a = 2 \cos 2a \cdot \sin 2a = \sin 4a;
\)

Ответ: \(\sin 4a\).

2)
\(
\sin \frac{a}{4} \cos \frac{a}{4} \cos \frac{a}{2} =
\)
Сначала используем формулу для произведения синуса и косинуса:
\(
= \frac{1}{2} \sin\left(\frac{a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right) =
\)
Теперь применим формулу для синуса двойного угла:
\(
= \frac{1}{4} \sin a;
\)

Ответ: \(\frac{1}{4} \sin a\).

3)
\(
\frac{\sin 6a}{\sin 2a} + \frac{\cos 6a}{\cos 2a} =
\)
Сначала объединим дроби:
\(
= \frac{\sin 6a \cos 2a + \cos 6a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a} =
\)
Используем формулу для суммы углов:
\(
= \frac{\sin(6a + 2a)}{\sin 2a \cos 2a} =
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{\sin 8a}{\sin 2a \cos 2a} =
\)
Теперь используем формулу для произведения синуса и косинуса:
\(
= \frac{2 \sin 4a \cos 4a}{\frac{1}{2} \sin 4a} =
\)
Упрощаем:
\(
= 4 \cos 4a;
\)

Ответ: \(4 \cos 4a\).

4)
\(
\frac{\cot a + \tan a}{\cot a — \tan a} =
\)
Сначала преобразуем дробь:
\(
= \frac{1 + \tan^2 a}{1 — \tan^2 a} =
\)
Используем тождество \(1 + \tan^2 a = \sec^2 a\):
\(
= \frac{\sec^2 a}{1 — \tan^2 a} =
\)
Теперь используем тождество \(1 — \tan^2 a = \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\cos^2 a}\):
\(
= \frac{1}{\cos^2 a} (1 — \tan^2 a) =
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{1}{\cos^2 a} (1 — (\tan^2 a)) =
= \frac{1}{1 — (\tan^2 a)} =
= \frac{1}{\cos 2a};
\)

Ответ: \(\frac{1}{\cos 2a}\).

5)
\(
\frac{\cos a}{\tan^2 \frac{a}{2} — \cot^2 \frac{a}{2}} =
\)
Сначала преобразуем \(\tan^2 \frac{a}{2}\) и \(\cot^2 \frac{a}{2}\):
\(
= \frac{\cos a}{\frac{1 — \cos a}{1 + \cos a} — \frac{1 + \cos a}{1 — \cos a}} =
\)
Объединим дроби в знаменателе:
\(
= \frac{\cos a}{\frac{(1 — \cos a)^2 — (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a)(1 — \cos a)}} =
\)
Теперь упростим числитель:
\(
= \cos a \cdot \frac{(1 — 2\cos a + \cos^2 a) — (1 + 2\cos a + \cos^2 a)}{(1 + \cos a)(1 — \cos a)} =
\)
Упрощаем:
\(
= \cos a \cdot \frac{-4\cos a}{(1 — \cos^2 a)} =
\)
Используем \(1 — \cos^2 a = \sin^2 a\):
\(
= \cos a \cdot \frac{-4\cos a}{\sin^2 a} = -\frac{4\cos^2 a}{\sin^2 a} = -4 \cot^2 a;
\)

Ответ: \(-4 \cot^2 a\).

6)
\(
\frac{1 — 2 \sin^2 2a}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)} \cdot \cos 4a =
\)
Сначала упростим числитель:
\(
= \frac{\cos 4a}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)} =
\)
Теперь преобразуем тангенс:
\(
= \frac{\cos 4a}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2a\right)} =
\)
Заменяем синус:
\(
= \frac{\cos 4a}{2\tan\left(\frac{3\pi}{4} — 2a\right) \cos^2(\frac{3\pi}{4} — 2a)} =
\)
Используем формулу для тангенса:
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \cdot \frac{\sin(\frac{3\pi}{4} — 2a)}{\cos(\frac{3\pi}{4} — 2a)} \cdot \cos^2(\frac{3\pi}{4} — 2a)} =
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{\cos 4a}{2 \sin(\frac{3\pi}{4} — 2a)} =
\)
Используем формулу для синуса:
\(
= \frac{\cos 4a}{-\cos(4a)} = -1;
\)

Ответ: \(-1\).

7)
\(
\frac{2 \cos^2 a — 1}{2 \cot\left(\frac{\pi}{4} — a\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — a\right)} =
\)
Сначала преобразуем числитель:
\(
= \frac{\cos 2a}{2 \cot(\frac{\pi}{4} — a) \sin(\frac{\pi}{4} — a)} =
\)
Используем формулу для синуса и косинуса:
\(
= \frac{\cos 2a}{2 \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{4} — a)}{\cos(\frac{\pi}{4} — a)} \cdot \sin(\frac{\pi}{4} — a)} =
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{\cos 2a}{\sin(\frac{\pi}{2} — 2a)} =
\)
Используем формулу для косинуса:
\(
= \frac{\cos 2a}{\cos 2a} = 1;
\)

Ответ: \(1\).

8)
\(
\frac{\cos^4(a — \pi)}{\cos^4(a — \frac{3\pi}{2}) + \sin^4(a + \frac{3\pi}{2}) — 1} =
\)
Сначала преобразуем числитель:
\(
= \frac{\cos^4 a}{\sin^4 a + \cos^4 a — 1} =
\)
Теперь упростим знаменатель:
\(
= \frac{\cos^4 a}{(1 — \sin^2 a)(1 + \sin^2 a) + \cos^4 a — 1} =
\)
Используем \(1 — \sin^2 a = \cos^2 a\):
\(
= \frac{\cos^4 a}{(1 + sin^2 a)\cos^4 a + (1-\sin^2 a)(1+\sin^2 a)} =
\)
Упрощаем:
\(
= \frac{\cos^4 a}{(1-\sin^2 a)\cdot(1+\sin^2 a)} =
\)
Используем формулу для косинуса:
\(
= -\frac{1}{2}\cot^2(a);
\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}\cot^2(a)\).