ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.326 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Докажите тождество:
\(
\tan(2a)(1 + \cos(4a)) — \sin(4a) = 0;
\)

2) Докажите тождество:
\(
\frac{1 + \cos(a) + \sin(a)}{1 — \cos(a) + \sin(a)} = \cot\left(\frac{a}{2}\right).
\)

Доказать тождество:

1)
\(
\tan 2a (1 + \cos 4a) — \sin 4a = 0;
\)

\(
\frac{\sin 2a}{\cos 2a} \cdot 2 \cos^2 2a = \sin 4a;
\)

\(
2 \sin 2a \cdot \cos 2a = 2 \sin 2a \cdot \cos 2a;
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\frac{1 + \cos a + \sin a}{1 — \cos a + \sin a} = \cot \frac{a}{2};
\)

\(
\frac{2 \cos^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}{2 \sin^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}} = \cot \frac{a}{2};
\)

\(
\frac{2 \cos \frac{a}{2} \cdot \left(\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2}\right)}{2 \sin \frac{a}{2} \cdot \left(\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}\right)} = \cot \frac{a}{2};
\)

\(
\frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} = \cot \frac{a}{2};
\)

Тождество доказано.

Доказать тождество:

1)
\(
\tan 2a (1 + \cos 4a) — \sin 4a = 0;
\)

Для начала преобразуем левую часть уравнения:
\(
\tan 2a (1 + \cos 4a) = \sin 4a.
\)

Используем формулу тангенса:
\(
\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a}.
\)

Подставим это значение в уравнение:
\(
\frac{\sin 2a}{\cos 2a} (1 + \cos 4a) = \sin 4a.
\)

Теперь упростим левую часть:
\(
\frac{\sin 2a (1 + \cos 4a)}{\cos 2a} = \sin 4a.
\)

Умножим обе стороны на \(\cos 2a\):
\(
\sin 2a (1 + \cos 4a) = \sin 4a \cdot \cos 2a.
\)

Используем формулу для \(\sin 4a\):
\(
\sin 4a = 2 \sin 2a \cdot \cos 2a.
\)

Теперь подставим это значение:
\(
\sin 2a (1 + \cos 4a) = 2 \sin 2a \cdot \cos 2a.
\)

Если \(\sin 2a \neq 0\), можем разделить обе стороны на \(\sin 2a\):
\(
1 + \cos 4a = 2 \cos 2a.
\)

Таким образом, тождество доказано.

2)
\(
\frac{1 + \cos a + \sin a}{1 — \cos a + \sin a} = \cot \frac{a}{2};
\)

Начнем с левой части:
\(
L = \frac{1 + \cos a + \sin a}{1 — \cos a + \sin a}.
\)

Используем формулы для половинных углов:
\(
1 + \cos a = 2 \cos^2 \frac{a}{2},
\)
\(
1 — \cos a = 2 \sin^2 \frac{a}{2}.
\)

Подставим эти значения:
\(
L = \frac{2 \cos^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}{2 \sin^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}.
\)

Упростим дробь:
\(
L = \frac{2 \cos \frac{a}{2} (\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2})}{2 \sin \frac{a}{2} (\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2})}.
\)

Сократим на \(2\):
\(
L = \frac{\cos \frac{a}{2} (\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2})}{\sin \frac{a}{2} (\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2})}.
\)

Теперь заметим, что
\(
\cot \frac{a}{2} = \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}}.
\)

Таким образом, мы имеем:
\(
L = \cot \frac{a}{2}.
\)

Тождество доказано.