ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.327 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что
\(
\cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}.
\)

Доказать тождество:

\(
\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8};
\)

\(
\frac{8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{1}{8};
\)

\(
\frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8 \sin (180^\circ — 160^\circ)} = \frac{1}{8};
\)

\(
\frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{8 \sin 160^\circ} = \frac{1}{8};
\)

\(
\frac{\sin 160^\circ}{8 \sin 160^\circ} = \frac{1}{8};
\)

\(
\frac{1}{8} = \frac{1}{8};
\)

Тождество доказано.

Доказать тождество:

\(
\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8};
\)

Для начала умножим обе стороны на \(8\):
\(
8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 1.
\)

Используем тригонометрическую идентичность:
\(
\sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a).
\)

Таким образом, мы можем выразить \(\sin 40^\circ\) как:
\(
\sin 40^\circ = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ.
\)

Теперь подставим это значение в уравнение:
\(
8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 1.
\)

Теперь выразим \(\cos 40^\circ\) через \(\sin 40^\circ\):
\(
\cos 40^\circ = \frac{\sin(90^\circ — 40^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \sin 50^\circ.
\)

Теперь подставляем это значение:
\(
= \frac{8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \sin 50^\circ \cos 80^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{1}{8}.
\)

Теперь используем формулу для \(\sin(180^\circ — x)\):
\(
\sin(180^\circ — x) = \sin x,
\)
что дает нам:
\(
\frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8 \sin(180^\circ — 160^\circ)} = \frac{1}{8}.
\)

Теперь упростим:
\(
= \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{8 \sin 160^\circ} = \frac{1}{8}.
\)

Используем еще одну тригонометрическую идентичность:
\(
\sin(160^\circ) = \sin(20^\circ).
\)

Таким образом, получаем:
\(
\frac{\sin 160^\circ}{8 \sin 160^\circ} = \frac{1}{8}.
\)

И в итоге:
\(
\frac{1}{8} = \frac{1}{8}.
\)

Тождество доказано.