Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.328 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) Докажите, что
\(
\cos(a) \cos(2a) \cos(4a) \cos(8a) \cos(16a) \cos(32a) = \frac{\sin(64a)}{64 \sin(a)}.
\)
2)
\(
\cos\left(\frac{\pi}{15}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{15}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{15}\right) \cdots \cos\left(\frac{7\pi}{15}\right) = \frac{1}{128}.
\)
Доказать тождество:
1)
\(
\cos a \cos 2a \cos 4a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \frac{\sin 64a}{64 \sin a};
\)
\(
64 \sin a \cos a \cos 2a \cos 4a \ldots \cos 32a = \sin 64a;
\)
\(
32 \sin 2a \cos 2a \cos 4a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a;
\)
\(
16 \sin 4a \cos 4a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a;
\)
\(
8 \sin 8a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a;
\)
\(
4 \sin 16a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a;
\)
\(
2 \sin 32a \cos 32a = \sin 64a;
\)
\(
\sin 64a = \sin 64a;
\)
Тождество доказано.
2)
\(
\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \ldots \cos \frac{7\pi}{15} = \frac{1}{128};
\)
\(
128 \sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \ldots \cos \frac{7\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15};
\)
\(
64 \sin \frac{2\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \ldots \cos \frac{7\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15};
\)
\(
32 \sin \frac{4\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \ldots \cos \frac{7\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15};
\)
\(
16 \sin \frac{8\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{5\pi}{15} \cos \frac{6\pi}{15} \cos \frac{7\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15};
\)
\(
16 \sin \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{30}\right) \cos \frac{3\pi}{15} \cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{6\pi}{15} \cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{30}\right) = \sin \frac{\pi}{15};
\)
\(
16 \sin \frac{3\pi}{15} \cos \frac{\pi}{30} \cos \frac{3\pi}{15} \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{30} = \sin \frac{\pi}{15} \sin \frac{3\pi}{15};
\)
\(
4 \sin \frac{3\pi}{15} \sin \frac{6\pi}{15} \cdot \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{15} \sin \left(\pi — \frac{12\pi}{15}\right);
\)
\(
\sin \frac{\pi}{15} \sin \frac{12\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15} \sin \frac{12\pi}{15};
\)
Тождество доказано.
Доказать тождество:
1)
\(
\cos a \cos 2a \cos 4a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \frac{\sin 64a}{64 \sin a}
\)
Начнем с первого равенства. Мы можем использовать формулу произведения косинусов, которая позволяет выразить произведение косинусов через синус. Это ведет к следующему равенству:
\(
64 \sin a \cos a \cos 2a \cos 4a \ldots \cos 32a = \sin 64a
\)
Здесь мы умножаем обе стороны на \(64 \sin a\).
Далее, применяя аналогичные преобразования, мы можем получить:
\(
32 \sin 2a \cos 2a \cos 4a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a
\)
Затем продолжаем делить на 2 и использовать свойства синуса и косинуса:
\(
16 \sin 4a \cos 4a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a
\)
\(
8 \sin 8a \cos 8a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a
\)
\(
4 \sin 16a \cos 16a \cos 32a = \sin 64a
\)
\(
2 \sin 32a \cos 32a = \sin 64a
\)
И в конце:
\(
\sin 64a = \sin 64a
\)
Таким образом, тождество доказано.
2) Доказательство второго тождества:
Начнем с равенства:
\(
\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \ldots \cos \frac{7\pi}{15} = \frac{1}{128}
\)
Умножим обе стороны на \(128\):
\(
128 \sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \ldots \cos \frac{7\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15}
\)
Следующим шагом будет использование формулы для синуса:
\(
64 \sin \frac{2\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \ldots = \sin \frac{\pi}{15}
\)
Далее продолжаем аналогично:
\(
32 \sin \frac{4\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \ldots = \sin \frac{\pi}{15}
\)
Используя свойства синуса и косинуса, продолжаем:
\(
16 \sin \frac{8\pi}{15} \cos \frac{3\pi}{15} \cos \frac{5\pi}{15} \cos \frac{6\pi}{15} \cos \frac{7\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15}
\)
Теперь используем известные значения:
\(
16 \sin (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{30}) \cos \frac{3\pi}{15} \cos (\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{15}
\)
Затем упрощаем:
\(
16 \sin \frac{3\pi}{15} \cos \frac{\pi}{30} \cos \frac{3\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{15}
\)
И продолжаем:
\(
4 \sin \frac{3\pi}{15} = 2
\)
В конце:
\(
\sin(\frac{\pi}{15}) = sin(\frac{12\pi}{15})
\)
Таким образом, второе тождество также доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.