ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.329 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите } \sin(2a), \text{ если } 2\tan^2(a) — 7\tan(a) + 3 = 0
\)
\(
\text{ и } \frac{5\pi}{4} < a < \frac{3\pi}{2}.
\)

Известно следующее:
\(
2 \tan^2 a — 7 \tan a + 3 = 0; \quad \frac{5\pi}{4} < a < \frac{3\pi}{2};
\)

1) Значение тангенса:
\(
2 \tan^2 a — 7 \tan a + 3 = 0;
\)

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25,
\)

тогда:
\(
\tan a_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \tan a_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = 3;
\)

\(
\frac{5\pi}{4} < a < \frac{3\pi}{2}; \quad \tan a > 1, \quad \tan a = 3;
\)

2) Значения синуса и косинуса:
\(
\cos a = — \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = — \sqrt{\frac{1}{1 + 9}} = — \frac{1}{\sqrt{10}};
\)

\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 3 \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{10}}\right) = — \frac{3}{\sqrt{10}};
\)

3) Искомое значение:
\(
\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a;
\)

\(
\sin 2a = 2 \cdot \left(- \frac{3}{\sqrt{10}}\right) \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{5};
\)

Ответ:
\(
\frac{3}{5}.
\)

Известно следующее:
\(
2 \tan^2 a — 7 \tan a + 3 = 0; \quad \frac{5\pi}{4} < a < \frac{3\pi}{2};
\)

1) Значение тангенса:
Начнем с уравнения:
\(
2 \tan^2 a — 7 \tan a + 3 = 0.
\)

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант \(D\):
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25.
\)

Теперь, используя дискриминант, найдем корни уравнения:
\(
\tan a_1 = \frac{7 — \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 5}{4} = \frac{1}{2}
\)
и
\(
\tan a_2 = \frac{7 + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = 3.
\)

Теперь определим, какой из корней удовлетворяет условию:
\(
\frac{5\pi}{4} < a < \frac{3\pi}{2}; \quad \tan a > 1, \quad \tan a = 3.
\)

Таким образом, значение тангенса, которое нам нужно, это:
\(
\tan a = 3.
\)

2) Значения синуса и косинуса:
Теперь найдем значения синуса и косинуса. Начнем с косинуса:
\(
\cos a = — \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = — \sqrt{\frac{1}{1 + 9}} = — \sqrt{\frac{1}{10}} = — \frac{1}{\sqrt{10}}.
\)

Теперь найдем синус:
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 3 \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{10}}\right) = — \frac{3}{\sqrt{10}}.
\)

3) Искомое значение:
Теперь мы можем найти значение искомого выражения:
\(
\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a.
\)

Подставим найденные значения:
\(
\sin 2a = 2 \cdot \left(- \frac{3}{\sqrt{10}}\right) \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{10}}\right) = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
\)

Ответ:
\(
\frac{3}{5}.
\)