ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.330 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Дано: } \sin(a) + \cos(a) = \frac{1}{5}.
\)
\(
\text{ Найдите } \tan\left(\frac{a}{2}\right).
\)

Известно следующее:
\(
\sin a + \cos a = \frac{1}{5};
\)

1) Значение косинуса:
\(
\tan^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a};
\)

\(
\tan^2 \frac{a}{2} \cdot (1 + \cos a) = 1 — \cos a;
\)

\(
\tan^2 \frac{a}{2} + \tan^2 \frac{a}{2} \cdot \cos a + \cos a = 1;
\)

\(
\cos a \cdot \left(\tan^2 \frac{a}{2} + 1\right) = 1 — \tan^2 \frac{a}{2};
\)

\(
\cos a = \frac{1 — \tan^2 \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}};
\)

2) Значение синуса:
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a;
\)

\(
\sin a = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 — \tan^2 \frac{a}{2}} \cdot \frac{1 — \tan^2 \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}} = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}};
\)

\(
\sin a = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}};
\)

3) Искомое значение:
\(
\frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}} + \frac{1 — \tan^2 \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}} = \frac{1}{5};
\)

\(
10 \tan \frac{a}{2} + 5 — 5 \tan^2 \frac{a}{2} = 1 + \tan^2 \frac{a}{2};
\)

\(
6 \tan^2 \frac{a}{2} — 10 \tan \frac{a}{2} — 4 = 0;
\)

\(
3 \tan^2 \frac{a}{2} — 5 \tan \frac{a}{2} — 2 = 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49,
\)

тогда:
\(
\tan \frac{a_1}{2} = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = — \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \tan \frac{a_2}{2} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = 2;
\)

Ответ:
\(
— \frac{1}{3}; \quad 2.
\)

Известно следующее:
\(
\sin a + \cos a = \frac{1}{5};
\)

1) Значение косинуса:
Для нахождения значения тангенса половинного угла используем формулу:
\(
\tan^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}.
\)

Умножим обе стороны на \(1 + \cos a\):
\(
\tan^2 \frac{a}{2} \cdot (1 + \cos a) = 1 — \cos a.
\)

Приведем все к одному уравнению:
\(
\tan^2 \frac{a}{2} + \tan^2 \frac{a}{2} \cdot \cos a + \cos a = 1.
\)

Теперь выразим косинус через тангенс:
\(
\cos a \cdot \left(\tan^2 \frac{a}{2} + 1\right) = 1 — \tan^2 \frac{a}{2}.
\)

Таким образом, получаем:
\(
\cos a = \frac{1 — \tan^2 \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}}.
\)

2) Значение синуса:
Синус можно выразить через тангенс:
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a.
\)

Используя формулу для тангенса половинного угла, получаем:
\(
\sin a = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 — \tan^2 \frac{a}{2}} \cdot \frac{1 — \tan^2 \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}} = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}}.
\)

Итак, у нас есть:
\(
\sin a = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}}.
\)

3) Искомое значение:
Составим уравнение:
\(
\frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}} + \frac{1 — \tan^2 \frac{a}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a}{2}} = \frac{1}{5}.
\)

Умножим обе стороны на \(1 + \tan^2 \frac{a}{2}\):
\(
10 \tan \frac{a}{2} + 5 — 5 \tan^2 \frac{a}{2} = 1 + \tan^2 \frac{a}{2}.
\)

Перепишем уравнение:
\(
6 \tan^2 \frac{a}{2} — 10 \tan \frac{a}{2} — 4 = 0.
\)

Преобразуем его:
\(
3 \tan^2 \frac{a}{2} — 5 \tan \frac{a}{2} — 2 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49,
\)

После этого находим корни уравнения:
\(
\tan \frac{a_1}{2} = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}
\quad
\text{и}
\quad
\tan \frac{a_2}{2} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = 2.
\)

Ответ:
\(
-\frac{1}{3};
\quad
2.
\)