ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.331 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \sin(3a) — \sin(a) + \sin(7a) — \sin(5a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a) \)

2) \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4a\right) + \sin(3\pi — 8a) — \sin(4\pi — 12a) = 4\cos(2a)\cos(4a)\sin(6a) \)

3) \( \frac{\sin(6a) + \sin(2a) — \cos(2a)}{\cos(2a) — \cos(6a) — \sin(2a)} = \cot(2a) \)

4) \( \frac{\sin(a) — \sin(3a) — \sin(5a) + \sin(7a)}{\cos(a) — \cos(3a) + \cos(5a) — \cos(7a)} = -\tan(2a) \)

5) \( \left(\frac{\sin(a)}{\sin(2a)} — \frac{\cos(a)}{\cos(2a)}\right) \cdot \frac{\cos(a) — \cos(7a)}{\sin(a)} = -4\sin(3a) \)

6) \( \cos^2\left(\frac{5\pi}{8} + a\right) — \sin^2\left(\frac{15\pi}{8} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2a) \)

1)
\(
\sin 3a — \sin a + \sin 7a — \sin 5a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a;
\)

\(
2 \sin(-a) \cdot \cos 4a + 2 \sin 3a \cdot \cos 4a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a;
\)

\(
2 \cos 4a \cdot (\sin 3a — \sin a) = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a;
\)

\(
2 \cos 4a \cdot 2 \sin a \cdot \cos 2a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a;
\)

\(
4 \sin a \cos 2a \cos 4a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a;
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\cos \left(\frac{3\pi}{2} + 4a \right) + \sin (3\pi — 8a) — \sin (4\pi — 12a) = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

\(
\sin 4a + \sin 8a + \sin 12a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

\(
2 \sin 2a \cdot \cos 2a + 2 \sin 10a \cdot \cos 2a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

\(
2 \cos 2a \cdot (\sin 2a + \sin 10a) = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

\(
2 \cos 2a \cdot 2 \sin 6a \cdot \cos 4a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

\(
4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

Тождество доказано.

3)
\(
\frac{\sin 6a + \sin 2a — \cos 2a}{\cos 2a — \cos 6a — \sin 2a} = \cot 2a;
\)

\(
\frac{2 \sin 4a \cdot \cos 2a — \cos 2a}{-2 \sin 4a \sin (-2a) — \sin 2a} = \cot 2a;
\)

\(
\frac{\cos 2a \cdot (2 \sin 4a — 1)}{\sin 2a \cdot (2 \sin 4a — 1)} = \cot 2a;
\)

\(
\cot 2a = \cot 2a;
\)

Тождество доказано.

4)
\(
\frac{\sin a — \sin 3a — \sin 5a + \sin 7a}{\cos a — \cos 3a + \cos 5a — \cos 7a} = -\tan 2a;
\)

\(
\frac{2 \sin 4a \cdot \cos 3a — 2 \sin 4a \cdot \cos a}{-2 \sin 4a \cdot \sin (-3a) — 2 \sin 4a \cdot \sin a} = -\tan 2a;
\)

\(
\frac{2 \sin 4a \cdot (\cos 3a — \cos a)}{2 \sin 4a \cdot (\sin 3a — \sin a)} = -\tan 2a;
\)

\(
-\tan 2a;
\)

\(
\frac{-2 \sin 2a \cdot \sin a}{2 \sin a \cdot \cos 2a} = -\tan 2a;
\)

\(
-\tan 2a = -\tan 2a;
\)

Тождество доказано.

5)
\(
\left(\frac{\sin a}{\sin 2a} — \frac{\cos a}{\cos 2a}\right) \cdot \frac{\cos a — \cos 7a}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

\(
\frac{\sin a \cos 2a — \cos a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a} \cdot \frac{-2 \sin 4a \cdot \sin (-3a)}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

\(
\frac{\sin (-a)}{1/2 \sin 4a} \cdot \frac{2 \sin 4a \sin 3a}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

\(
\frac{-2 \sin a \cdot 2 \sin 3a}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

\(
-4 \sin 3a = -4 \sin 3a;
\)

Тождество доказано.

6)
\(
\cos^2 \left(\frac{5\pi}{8} + a\right) — \sin^2 \left(\frac{15\pi}{8} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2a;
\)

\(
\frac{1 + \cos \left(\frac{5\pi}{4} + 2a\right)}{2} — \frac{1 — \cos \left(\frac{15\pi}{4} + 2a\right)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2a;
\)

\(
\cos \left(\frac{5\pi}{4} + 2a\right) + \cos \left(\frac{15\pi}{4} + 2a\right) = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

\(
2 \cos \left(\frac{5\pi}{2} + 2a\right) \cdot \cos \frac{5\pi}{4} = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

\(
2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sin 2a = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

\(
\sqrt{2} \sin 2a = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

Тождество доказано.

1)
\(
\sin 3a — \sin a + \sin 7a — \sin 5a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a;
\)

Начнем с левой части:
\(
\sin 3a — \sin a + \sin 7a — \sin 5a = 2 \sin(-a) \cdot \cos 4a + 2 \sin 3a \cdot \cos 4a.
\)

Это можно записать как:
\(
2 \cos 4a \cdot (\sin 3a — \sin a) = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a.
\)

Теперь, используя формулу разности синусов:
\(
2 \cos 4a \cdot 2 \sin a \cdot \cos 2a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a.
\)

Таким образом, мы получаем:
\(
4 \sin a \cos 2a \cos 4a = 4 \sin a \cos 2a \cos 4a.
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\cos \left(\frac{3\pi}{2} + 4a \right) + \sin (3\pi — 8a) — \sin (4\pi — 12a) = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a;
\)

Левую часть можно упростить:
\(
\sin 4a + \sin 8a + \sin 12a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a.
\)

Мы можем записать это как:
\(
2 \sin 2a \cdot \cos 2a + 2 \sin 10a \cdot \cos 2a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a.
\)

Теперь мы имеем:
\(
2 \cos 2a \cdot (\sin 2a + \sin 10a) = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a.
\)

Следующий шаг:
\(
2 \cos 2a \cdot 2 \sin 6a \cdot \cos 4a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a.
\)

Таким образом, мы получаем:
\(
4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a = 4 \cos 2a \cos 4a \sin 6a.
\)

Тождество доказано.

3)
\(
\frac{\sin 6a + \sin 2a — \cos 2a}{\cos 2a — \cos 6a — \sin 2a} = \cot 2a;
\)

Левую часть можно упростить:
\(
\frac{2 \sin 4a \cdot \cos 2a — \cos 2a}{-2 \sin 4a \sin (-2a) — \sin 2a} = \cot 2a.
\)

Теперь мы можем записать это как:
\(
\frac{\cos 2a (2 \sin 4a — 1)}{\sin 2a (2 \sin 4a — 1)} = \cot 2a.
\)

Таким образом, мы получаем:
\(
\cot 2a = \cot 2a.
\)

Тождество доказано.

4)
\(
\frac{\sin a — \sin 3a — \sin 5a + \sin 7a}{\cos a — \cos 3a + \cos 5a — \cos 7a} = -\tan 2a;
\)

Начнем с левой части:
\(
\frac{2 \sin 4a \cdot \cos 3a — 2 \sin 4a \cdot \cos a}{-2 \sin 4a \cdot \sin (-3a) — 2 \sin 4a \cdot \sin a} = -\tan 2a;
\)

Упрощаем:
\(
\frac{2 \sin 4a \cdot (\cos 3a — \cos a)}{2 \sin 4a \cdot (\sin 3a — \sin a)} = -\tan 2a;
\)

Таким образом, получаем:
\(
-\tan 2a;
\)

Теперь рассмотрим:
\(
\frac{-2 \sin 2a \cdot \sin a}{2 \sin a \cdot \cos 2a} = -\tan 2a;
\)

Итак, мы имеем:
\(
-\tan 2a = -\tan 2a;
\)

Тождество доказано.

5)
\(
\left(\frac{\sin a}{\sin 2a} — \frac{\cos a}{\cos 2a}\right) \cdot \frac{\cos a — \cos 7a}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

Рассмотрим левую часть:
\(
\frac{\sin a \cos 2a — \cos a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a} \cdot \frac{-2 \sin 4a \cdot \sin (-3a)}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

Упрощаем:
\(
\frac{\sin (-a)}{\frac{1}{2} \sin 4a} \cdot \frac{2 \sin 4a \sin 3a}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

В результате получаем:
\(
\frac{-2 \sin a \cdot 2 \sin 3a}{\sin a} = -4 \sin 3a;
\)

Таким образом, мы имеем:
\(
-4 \sin 3a = -4 \sin 3a;
\)

Тождество доказано.

6)
\(
\cos^2 \left(\frac{5\pi}{8} + a\right) — \sin^2 \left(\frac{15\pi}{8} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2a;
\)

Начнем с левой части:
\(
\frac{1 + \cos \left(\frac{5\pi}{4} + 2a\right)}{2} — \frac{1 — \cos \left(\frac{15\pi}{4} + 2a\right)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2a;
\)

Упрощаем:
\(
\cos \left(\frac{5\pi}{4} + 2a\right) + \cos \left(\frac{15\pi}{4} + 2a\right) = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

Теперь рассмотрим:
\(
2 \cos \left(\frac{5\pi}{2} + 2a\right) \cdot \cos \frac{5\pi}{4} = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

Здесь мы имеем:
\(
2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sin 2a = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

Следовательно:
\(
\sqrt{2} \sin 2a = \sqrt{2} \sin 2a;
\)

Тождество доказано.