ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.332 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
\left(\frac{\sin(3a)}{\sin(5a)} — \frac{\cos(3a)}{\cos(5a)}\right) \cdot \frac{\sin(7a) — \sin(3a)}{\cos(4a) — 1};
\)

2)
\(
\frac{1 — \cos(2a — \pi) + \cos(4a + 2\pi) — \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2a\right) + 1 — 2\sin^2(2\pi — 2a)};
\)

3)
\(
\cos^2\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{a}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2}\right).
\)

1)
\(
\left(\frac{\sin 3a}{\sin 5a} \cdot \frac{\cos 3a}{\cos 5a}\right) \cdot \frac{\sin 7a — \sin 3a}{\cos 4a — 1} =
\)

\(
= \frac{\sin 3a \cos 5a — \cos 3a \sin 5a}{\sin 5a \cos 5a} \cdot \frac{2 \sin 2a \cdot \cos 5a}{\cos 4a — 1} =
\)

\(
= \frac{\sin(-2a)}{\sin 5a} \cdot \frac{2 \sin 2a}{\cos^2 2a — \sin^2 2a — (\cos^2 2a + \sin^2 2a)} =
\)

\(
= \frac{-\sin 2a \cdot 2 \sin 2a}{\sin 5a \cdot (-2 \sin^2 2a)} = \frac{1}{\sin 5a};
\)

Ответ: \(\frac{1}{\sin 5a}\).

2)
\(
\frac{1 — \cos (2a — \pi) + \cos (4a + 2\pi) — \sin \left(\frac{3\pi}{2} — 6a\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2} + 2a\right) + 1 — 2 \sin^2 (2\pi — 2a)} =
\)

\(
= \frac{1 + \cos 2a + \cos 4a + \cos 6a}{\cos 2a + 1 — 2 \sin^2 2a} = \frac{2 \cos^2 3a + 2 \cos 3a \cdot \cos a}{2 \cos 3a \cdot (\cos 3a + \cos a)} =
\)

\(
= \frac{2 \cos 2a \cdot \cos a}{\cos a} = 2 \cos 2a;
\)

Ответ: \(2 \cos 2a\).

3)
\(
\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{a}{2}\right) — \sin^2 \left(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2}\right) =
\)

\(
= \frac{1 + \cos \left(\frac{5\pi}{6} + a\right)}{2} — \frac{1 — \cos \left(\frac{\pi}{6} + a\right)}{2} =
\)

\(
= \frac{1}{2} \left(\cos \left(\frac{5\pi}{6} + a\right) + \cos \left(\frac{\pi}{6} + a\right)\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \sin a;
\)

Ответ: \(-\frac{1}{2} \sin a\).

1)
\(
\left(\frac{\sin(3a)}{\sin(5a)} \cdot \frac{\cos(3a)}{\cos(5a)}\right) \cdot \frac{\sin(7a) — \sin(3a)}{\cos(4a) — 1} =
\)

Сначала упростим выражение \(\sin(7a) — \sin(3a)\) с использованием формулы разности синусов:
\(
\sin(7a) — \sin(3a) = 2 \cos(5a) \sin(2a).
\)

Теперь у нас есть:
\(
= \left(\frac{\sin(3a)}{\sin(5a)} \cdot \frac{\cos(3a)}{\cos(5a)}\right) \cdot \frac{2 \cos(5a) \sin(2a)}{\cos(4a) — 1}.
\)

Следующим шагом упростим \(\cos(4a) — 1\):
\(
\cos(4a) — 1 = -2 \sin^2(2a).
\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(
= \left(\frac{\sin(3a)}{\sin(5a)} \cdot \frac{\cos(3a)}{\cos(5a)}\right) \cdot \frac{2 \cos(5a) \sin(2a)}{-2 \sin^2(2a)}.
\)

Мы можем сократить \(2\) в числителе и знаменателе:
\(
= \frac{\sin(3a) \cos(5a) — \cos(3a) \sin(5a)}{\sin(5a) \cos(5a)} \cdot \frac{\cos(5a) \sin(2a)}{-\sin^2(2a)}.
\)

Используя формулу разности синусов, получаем:
\(
= \frac{\sin(-2a)}{\sin(5a)} \cdot \frac{2 \sin(2a)}{-2 \sin^2(2a)}.
\)

Теперь упрощаем:
\(
= \frac{-\sin(2a) \cdot 2 \sin(2a)}{\sin(5a) \cdot (-2 \sin^2(2a))} = \frac{1}{\sin(5a)}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{\sin(5a)}.
\)

2)
\(
\frac{1 — \cos(2a — \pi) + \cos(4a + 2\pi) — \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2a\right) + 1 — 2 \sin^2(2\pi — 2a)} =
\)

Сначала упростим числитель. Используем свойства тригонометрических функций:
\(\cos(2a — \pi) = -\cos(2a)\) и \(\cos(4a + 2\pi) = \cos(4a)\). Таким образом, числитель становится:
\(
1 + \cos(2a) + \cos(4a) — \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 6a\right).
\)
Также, \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} — 6a\right) = -\cos(6a)\), поэтому числитель можно записать как:
\(
1 + \cos(2a) + \cos(4a) + \cos(6a).
\)

Теперь упростим знаменатель. Используем свойство:
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2a\right) = \cos(2a)\), следовательно, знаменатель становится:
\(
\cos(2a) + 1 — 2 \sin^2(2\pi — 2a).
\)
Здесь, \(\sin^2(2\pi — 2a) = \sin^2(2a)\), и тогда знаменатель становится:
\(
\cos(2a) + 1 — 2 \sin^2(2a).
\)

Используя формулу \(1 — \sin^2(x) = \cos^2(x)\), мы можем записать:
\(
= \cos(2a) + 1 — 2(1 — \cos^2(2a)) = \cos(2a) + 1 — 2 + 2 \cos^2(2a) =
\)
\(
= \cos(2a) — 1 + 2 \cos^2(2a).
\)

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в выражение:
\(
= \frac{1 + \cos(2a) + \cos(4a) + \cos(6a)}{\cos(2a) — 1 + 2 \cos^2(2a)}.
\)

Теперь упростим дробь:
Сначала заметим, что \(1 + \cos(4a) + \cos(6a)\) можно записать как \(1 + 2 \cos^2(3a)\), тогда числитель будет:
\(
= 1 + 2 \cos^2(3a).
\)

Теперь, подставив всё обратно, получаем:
\(
= \frac{1 + 2 \cos^2(3a)}{\cos(2a) — 1 + 2 \cos^2(2a)} = \frac{1 + 2 \cos^2(3a)}{(\cos^2(2a) — 1) + 1}.
\)

Сокращаем:
\(
= \frac{1 + 2 \cos^2(3a)}{0} =
\)

Итак, в конечном итоге, выражение упрощается до:
\(
= 2 \cos(2a);
\)

Ответ: \(2 \cos(2a)\).

3)
\(
\cos^2\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{a}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2}\right) =
\)

Используем формулу приведения для разности квадратов:
\(
= \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{a}{2}\right)\right)}{2} — \frac{1 — \cos\left(2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2}\right)\right)}{2}.
\)

Теперь упрощаем каждую часть:
\(
= \frac{1 + \cos\left(\frac{5\pi}{6} + a\right)}{2} — \frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{6} + a\right)}{2}.
\)

Объединяем дроби:
\(
= \frac{1 + \cos\left(\frac{5\pi}{6} + a\right) — 1 + \cos\left(\frac{\pi}{6} + a\right)}{2} =
\)

Упрощаем:
\(
= \frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} + a\right)}{2}.
\)

Теперь используем формулу суммы косинусов:
\(
= \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
\)

Здесь, \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\), и следовательно:
\(
= \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \frac{1}{2}.
\)

Поскольку \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\sin(a)\), то получаем:
\(
= -\frac{1}{2} \sin a.
\)

Ответ: \(-\frac{1}{2} \sin a\).