ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.333 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1)
\(
\sin(2a) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4} + a\right) = -1;
\)

2)
\(
\sin(8a)\sin(4a) + \cos(7a)\cos(5a) = \cos(3a)\cos(a).
\)

1)
\(
\sin 2a + 2 \sin \left(\frac{3\pi}{4} — a\right) \cos \left(\frac{3\pi}{4} + a\right) = -1;
\)

\(
\sin 2a + 2 \cdot \frac{1}{2} \left(\sin \frac{3\pi}{2} + \sin (-2a)\right) = -1;
\)

\(
\sin 2a + \sin \frac{3\pi}{2} — \sin 2a = -1;
\)

\(
\sin \frac{3\pi}{2} = -1;
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\sin 8a \sin 4a + \cos 7a \cos 5a = \cos 3a \cos a;
\)

\(
\frac{1}{2} (\cos 4a — \cos 12a) + \frac{1}{2} (\cos 12a + \cos 2a) = \cos 3a \cos a;
\)

\(
\frac{1}{2} (\cos 4a + \cos 2a) = \cos 3a \cos a;
\)

\(
\frac{1}{2} \cdot 2 \cos 3a \cdot \cos a = \cos 3a \cos a;
\)

\(
\cos 3a \cos a = \cos 3a \cos a;
\)

Тождество доказано.

Доказать тождество:

1)
\(
\sin(2a) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right) \cos\left(\frac{3\pi}{4} + a\right) = -1;
\)

Сначала упростим выражение \(2 \sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right) \cos\left(\frac{3\pi}{4} + a\right)\) с использованием формулы произведения синуса и косинуса:
\(
= 2 \cdot \frac{1}{2} \left(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \sin(-2a)\right) = -1;
\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(
\sin(2a) + \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) — \sin(2a) = -1;
\)

Зная, что \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), мы получаем:
\(
-1 = -1.
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\sin(8a) \sin(4a) + \cos(7a) \cos(5a) = \cos(3a) \cos(a);
\)

Используем формулу произведения для синуса и косинуса:
\(
= \frac{1}{2} \left(\cos(4a) — \cos(12a)\right) + \frac{1}{2} \left(\cos(12a) + \cos(2a)\right) = \cos(3a) \cos(a);
\)

Теперь объединим дроби:
\(
= \frac{1}{2} \left(\cos(4a) + \cos(2a)\right) = \cos(3a) \cos(a);
\)

Умножаем обе стороны на 2:
\(
= 2 \cos(3a) \cos(a).
\)

Теперь, мы видим, что:
\(
\cos(3a) \cos(a) = \cos(3a) \cos(a).
\)

Тождество доказано.