ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.334 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить значение

1)
\(
\tan\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right);
\)

2)
\(
\cos\left(2 \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right);
\)

3)
\(
\sin\left(2 \arctan(1) — \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right);
\)

4)
\(
\tan\left(\text{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right) + \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right).
\)

1)
\(
\tan \left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3};
\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

2)
\(
\cos \left(2 \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \cos \left(2 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

3)
\(
\sin \left(2 \arctan 1 — \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

4)
\(
\tan \left(\text{arcctg}(\sqrt{3}) + \arctan \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \tan \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \tan 0 = 0;
\)

Ответ: 0.

Вычислить значение:

1)
\(
\tan\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3};
\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Обоснование: Значение \(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) соответствует углу \(\frac{\pi}{6}\), так как \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

2)
\(
\cos\left(2 \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

Обоснование: Значение \(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\) соответствует углу \(\frac{2\pi}{3}\), так как \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\). Удваивая этот угол, получаем \(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\), который также равен \(-\frac{1}{2}\).

3)
\(
\sin\left(2 \arctan(1) — \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Обоснование: Значение \(\arctan(1)\) соответствует углу \(\frac{\pi}{4}\), так как \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\). Удваивая этот угол, получаем \(2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). Затем вычитаем \(\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), что равно \(\frac{\pi}{4}\). Таким образом, получаем \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

4)
\(
\tan\left(\text{arcctg}(\sqrt{3}) + \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \tan(0) = 0;
\)

Ответ: 0.

Обоснование: Значение \(\text{arcctg}(\sqrt{3})\) соответствует углу \(-\frac{\pi}{6}\), так как \(\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\). Значение \(\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) соответствует углу \(\frac{\pi}{6}\), так как \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Сложив эти углы, получаем \(0\), и, следовательно, \(\tan(0) = 0\).