ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.335 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1)
\(
y = \arcsin(x — 5);
\)

2)
\(
y = \arccos\left(\frac{x^2 + 1}{2x}\right);
\)

3)
\(
y = \arccos(x^2 — 3);
\)

4)
\(
y = -\arccos(x);
\)

5)
\(
y = \arctan\left(6 — x\right);
\)

6)
\(
y = \arccos(-1 — x^2).
\)

1)
\(
y = \arcsin(x — 5);
\)
Область определения:
\(
-1 \leq x — 5 \leq 1;
\)
\(
4 \leq x \leq 6;
\)
Ответ: \(D(x) = [4; 6]\).

2)
\(
y = \arccos\left(\frac{x^2 + 1}{2x}\right);
\)
Область определения:
\(
-1 \leq \frac{x^2 + 1}{2x} \leq 1;
\)

Первое неравенство:
\(
\frac{x^2 + 1}{2x} \geq -1;
\)
\(
\frac{x^2 + 2x + 1}{2x} \geq 0;
\)
\(
\frac{(x + 1)^2}{2x} \geq 0;
\)
Условия:
\(
x > 0, \quad x \neq -1;
\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x^2 + 1}{2x} \leq 1;
\)
\(
\frac{x^2 — 2x + 1}{2x} \leq 0;
\)

\(
\frac{(x — 1)^2}{2x} \leq 0;
\)
\(
x < 0, \quad x \neq 1;
\)
Ответ: \(D(x) = \{-1; 1\}\).

3)
\(
y = \arccos(x^2 — 3);
\)
Область определения:
\(
-1 \leq x^2 — 3 \leq 1;
\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 3 \geq -1;
\)
\(
x^2 — 2 \geq 0;
\)
\(
(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) \geq 0;
\)
\(
x \leq -\sqrt{2}, \quad x \geq \sqrt{2};
\)

Второе неравенство:
\(
x^2 — 3 \leq 1;
\)
\(
x^2 — 4 \leq 0;
\)
\(
(x + 2)(x — 2) \leq 0;
\)
\(
-2 \leq x \leq 2;
\)

Ответ:
\(
D(x) = [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2].
\)

4)
\(
y = \sqrt{\arccos x};
\)
Область определения:
\(
\arccos x \geq 0;
\)
\(
\arccos x \leq \pi;
\)

\(
\cos 0 \leq x \leq 1;
\)
\(
1 \leq x \leq 1;
\)
Ответ: \(D(x) = \{1\}\).

5)
\(
y = \arctan \sqrt{6 — x};
\)
Область определения:
\(
6 — x \geq 0;
\)
\(
x \leq 6;
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; 6].
\)

6)
\(
y = \arccos(-1 — x^2);
\)
Область определения:
\(
-1 \leq -1 — x^2 \leq 1;
\)

Первое неравенство:
\(
-1 — x^2 \geq -1;
\)
\(
x^2 \leq 0;
\)
\(
x = 0;
\)

Второе неравенство:
\(
-1 — x^2 \leq 1;
\)
\(
x^2 + 2 \geq 0;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Ответ:
\(
D(x) = \{0\}.
\)

1)
\(
y = \arcsin(x — 5);
\)
Область определения функции \(\arcsin\) требует, чтобы аргумент находился в интервале от \(-1\) до \(1\):
\(
-1 \leq x — 5 \leq 1;
\)
Решим неравенство:
\(-1 \leq x — 5\) даёт
\(
x \geq 4;
\)
\(x — 5 \leq 1\) даёт
\(
x \leq 6.
\)
Таким образом, область определения:
\(
4 \leq x \leq 6;
\)
Ответ: \(D(x) = [4; 6]\).

2)
\(
y = \arccos\left(\frac{x^2 + 1}{2x}\right);
\)
Область определения функции \(\arccos\) требует, чтобы аргумент находился в интервале от \(-1\) до \(1\):
\(
-1 \leq \frac{x^2 + 1}{2x} \leq 1;
\)

Первое неравенство:
\(
\frac{x^2 + 1}{2x} \geq -1;
\)
Умножим обе стороны на \(2x\) (при условии, что \(x > 0\)):
\(
x^2 + 1 \geq -2x;
\)
Перепишем:
\(
x^2 + 2x + 1 \geq 0;
\)
Это можно записать как:
\(
(x + 1)^2 \geq 0.
\)
Это неравенство выполняется для всех \(x \neq 0\). Условия:
\(x > 0, \quad x \neq -1.\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x^2 + 1}{2x} \leq 1;
\)
Умножим обе стороны на \(2x\):
\(
x^2 + 1 \leq 2x;
\)
Перепишем:
\(
x^2 — 2x + 1 \leq 0;
\)
Это можно записать как:
\(
(x — 1)^2 \leq 0.
\)
Таким образом, это неравенство выполняется только для \(x = 1.\)

Объединяя условия, получаем, что область определения:
Ответ: \(D(x) = \{-1; 1\}\).

3)
\(
y = \arccos(x^2 — 3);
\)
Область определения функции \(\arccos\) требует, чтобы аргумент находился в интервале от \(-1\) до \(1\):
\(
-1 \leq x^2 — 3 \leq 1;
\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 3 \geq -1;
\)
Перепишем:
\(
x^2 \geq 2;
\)
Корни этого неравенства:
\(
x \leq -\sqrt{2}, \quad x \geq \sqrt{2}.
\)

Второе неравенство:
\(
x^2 — 3 \leq 1;
\)
Перепишем:
\(
x^2 \leq 4.
\)
Корни этого неравенства:
\(
-2 \leq x \leq 2.
\)

Теперь объединим условия из первого и второго неравенств. Мы имеем:
— Из первого неравенства: \(x \leq -\sqrt{2}\) или \(x \geq \sqrt{2}\).
— Из второго неравенства: \(-2 \leq x \leq 2.\)

Таким образом, область определения будет:
Ответ:
\(
D(x) = [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2].
\)

4)
\(
y = \sqrt{\arccos x};
\)
Область определения функции \(\sqrt{\cdot}\) требует, чтобы аргумент был неотрицательным:
\(
\arccos x \geq 0;
\)
Также \(\arccos x\) имеет верхнюю границу:
\(
\arccos x \leq \pi.
\)
Теперь найдем область определения для \(\arccos x\):
\(
\cos 0 \leq x \leq 1;
\)
Это означает, что:
\(
0 \leq x \leq 1.
\)
Поскольку \(\arccos x\) принимает значения от \(0\) до \(\pi\), и \(\arccos x = 0\) при \(x = 1\), мы получаем:
\(
1 \leq x \leq 1.
\)
Ответ: \(D(x) = \{1\}\).

5)
\(
y = \arctan \sqrt{6 — x};
\)
Область определения функции \(\sqrt{\cdot}\) требует, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:
\(
6 — x \geq 0;
\)
Это дает:
\(
x \leq 6.
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; 6].
\)

6)
\(
y = \arccos(-1 — x^2);
\)
Область определения функции \(\arccos\) требует, чтобы аргумент находился в интервале от \(-1\) до \(1\):
\(
-1 \leq -1 — x^2 \leq 1;
\)

Первое неравенство:
\(
-1 — x^2 \geq -1;
\)
Это неравенство упрощается до:
\(
x^2 \leq 0.
\)
Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это неравенство выполняется только при:
\(
x = 0.
\)

Второе неравенство:
\(
-1 — x^2 \leq 1;
\)
Переписываем его как:
\(
-x^2 \leq 2;
\)
Это неравенство всегда выполняется, так как \(x^2 + 2 \geq 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Таким образом, окончательная область определения:
Ответ:
\(
D(x) = \{0\}.
\)