ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.336 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить значение

1)
\(
\sin\left(\arctan(3)\right);
\)

2)
\(
\cos\left(-\text{arcctg}\left(-\frac{7}{8}\right)\right).
\)

1)
\(
\sin(\arctan 3), \quad a = \arctan 3;
\)
\(
\tan a = \tan(\arctan 3) = 3;
\)
\(
\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{10}};
\)
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};
\)
Ответ:
\(
\frac{3}{\sqrt{10}}.
\)

2)
\(
\cos\left(-\cot^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)\right), \quad a = \cot^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right);
\)
\(
\cot a = \cot\left(\cot^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)\right) = -\frac{7}{8};
\)
\(
\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{7}{8}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{49}{64}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{113}{64}}} = \frac{8}{\sqrt{113}};
\)
\(
\cos(-a) = \cos a = \cot a \cdot \sin a = -\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{113}} = -\frac{7}{\sqrt{113}};
\)
Ответ:
\(
-\frac{7}{\sqrt{113}}.
\)

Вычислить значение:

1)
\(
\sin(\arctan 3), \quad a = \arctan 3;
\)
Сначала находим тангенс угла \( a \):
\(
\tan a = \tan(\arctan 3) = 3;
\)
Теперь используем основное тригонометрическое тождество для нахождения косинуса:
\(
\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{10}};
\)
Теперь можем найти синус:
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};
\)
Ответ:
\(
\frac{3}{\sqrt{10}}.
\)

2)
\(
\cos\left(-\cot^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)\right), \quad a = \cot^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right);
\)
Сначала находим котангенс угла \( a \):
\(
\cot a = \cot\left(\cot^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)\right) = -\frac{7}{8};
\)
Теперь можем найти синус:
\(
\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{7}{8}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{49}{64}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{64}{64} + \frac{49}{64}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{113}{64}}} = \frac{8}{\sqrt{113}};
\)
Теперь найдем косинус угла \( -a \):
\(
\cos(-a) = \cos a = \cot a \cdot \sin a = -\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{113}} = -\frac{7}{\sqrt{113}};
\)
Ответ:
\(
-\frac{7}{\sqrt{113}}.
\)