ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.337 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
\arcsin(x) < -\frac{\pi}{2}
\)

2)
\(
\arcsin(x) > -\frac{\pi}{2}
\)

1)
\(
\arcsin x \leq -\frac{\pi}{2};
\)
\(
-1 \leq x \leq \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right);
\)
\(
-1 \leq x \leq -1;
\)
Ответ:
\(
\{-1\}.
\)

2)
\(
\arcsin x \geq -\frac{\pi}{2};
\)
\(
\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \leq x \leq 1;
\)
\(
-1 \leq x \leq 1;
\)
Ответ:
\(
[-1; 1].
\)

Решить неравенство:

1)
\(
\arcsin x \leq -\frac{\pi}{2};
\)
Согласно определению функции \(\arcsin\), её область значений находится в интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Следовательно, если \(\arcsin x \leq -\frac{\pi}{2}\), это возможно только в случае, если \(x\) достигает своего минимального значения. Таким образом, мы имеем:
\(
-1 \leq x \leq \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right);
\)
Зная, что \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\), мы можем записать:
\(
-1 \leq x \leq -1;
\)
Это неравенство подразумевает, что \(x\) может принимать только одно значение:
Ответ:
\(
\{-1\}.
\)

2)
\(
\arcsin x \geq -\frac{\pi}{2};
\)
Здесь мы снова обращаемся к определению функции \(\arcsin\). Если \(\arcsin x \geq -\frac{\pi}{2}\), это означает, что \(x\) может принимать значения в диапазоне от \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\) до 1. Поэтому:
\(
\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \leq x \leq 1;
\)
Подставляя значение, получаем:
\(
-1 \leq x \leq 1;
\)
Таким образом, решение этого неравенства записывается как:
Ответ:
\(
[-1; 1].
\)