ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.338 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите область значений функции:
\(
y = 2\arcsin(x) — \frac{\pi}{4}
\)

2)
\(
y = 5 — 3\arctan\left(\frac{x}{2}\right)
\)

1)
\(
y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4};
\)
Множество значений:
\(
-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};
\)
\(
— \pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi;
\)
\(
-\frac{5\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4};
\)
Ответ:
\(
E(y) = \left[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right].
\)

2)
\(
y = 5 — 3 \arctan \frac{x}{2};
\)
Множество значений:
\(
-\frac{\pi}{2} < \arctan \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2};
\)
\(
-\frac{3\pi}{2} < -3 \arctan \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2};
\)
\(
5 — \frac{3\pi}{2} < 5 — 3 \arctan \frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2};
\)
Ответ:
\(
E(y) = \left(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\right).
\)

Найти область значений функции:

1)
\(
y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4};
\)
Множество значений функции \(\arcsin x\) определяется на интервале \([-1, 1]\). Соответственно, область значений для \(\arcsin x\) будет:
\(
-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};
\)
Умножая все части неравенства на 2, получаем:
\(
— \pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi;
\)
Теперь вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из всех частей неравенства:
\(
-\pi — \frac{\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \pi — \frac{\pi}{4};
\)
Это можно упростить:
\(
-\frac{5\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4};
\)
Таким образом, область значений функции будет:
Ответ:
\(
E(y) = \left[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right].
\)

2)
\(
y = 5 — 3 \arctan \frac{x}{2};
\)
Функция \(\arctan\) принимает значения на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\). Это означает, что:
\(
-\frac{\pi}{2} < \arctan \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2};
\)
Умножая все части неравенства на -3 (не забываем поменять знак неравенства):
\(
-\frac{3\pi}{2} < -3 \arctan \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2};
\)
Теперь добавим 5 ко всем частям неравенства:
\(
5 — \frac{3\pi}{2} < 5 — 3 \arctan \frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2};
\)
Таким образом, область значений функции будет:
Ответ:
\(
E(y) = \left(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\right).
\)