ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.339 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Решите уравнение:
\(
6\cos^2(x) + 5\sin(x) — 7 = 0;
\)

2)
\(
\cos(2x) — 3\sin(x) = 2;
\)

3)
\(
\sin^2(3x) + 3\cos(3x) = 3;
\)

4)
\(
2\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 2\cot\left(\frac{x}{3}\right) = 5.
\)

1)
\(
6 \cos^2 x + 5 \sin x — 7 = 0;
\)
\(
6 — 6 \sin^2 x + 5 \sin x — 7 = 0;
\)
\(
6 \sin^2 x — 5 \sin x + 1 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,
\)
тогда:
\(
\sin x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \sin x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2};
\)
\(
x_1 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;
\)
\(
x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

2)
\(
\sin^2 3x + 3 \cos 3x = 3;
\)
\(
1 — \cos^2 3x + 3 \cos 3x = 3;
\)
\(
\cos^2 3x — 3 \cos 3x + 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)
тогда:
\(
\cos 3x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \cos 3x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)
\(
3x_1 = 2 \pi n, \quad 3x_2 \in \emptyset;
\)
\(
x = \frac{2 \pi n}{3}.
\)

3)
\(
\cos 2x — 3 \sin x = 2;
\)
\(
1 — 2 \sin^2 x — 3 \sin x = 2;
\)
\(
2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)
тогда:
\(
\sin x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad \sin x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\)
\(
x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad x_2 = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

4)
\(
2 \tan \frac{x}{3} + 2 \cot \frac{x}{3} = 5;
\)
\(
2 \tan^2 \frac{x}{3} + 2 = 5 \tan \frac{x}{3};
\)
\(
2 \tan^2 \frac{x}{3} — 5 \tan \frac{x}{3} + 2 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\)
тогда:
\(
\tan \frac{x_1}{3} = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \tan \frac{x_2}{3} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\)
\(
\frac{x_1}{3} = \arctan \frac{1}{2} + \pi n, \quad \frac{x_2}{3} = \arctan 2 + \pi n;
\)
\(
x_1 = 3 \arctan \frac{1}{2} + 3 \pi n, \quad x_2 = 3 \arctan 2 + 3 \pi n;
\)

1)
Решим уравнение:
\(
6 \cos^2 x + 5 \sin x — 7 = 0;
\)
Используя тождество \(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\), преобразуем уравнение:
\(
6 — 6 \sin^2 x + 5 \sin x — 7 = 0;
\)
Упрощаем:
\(
6 \sin^2 x — 5 \sin x + 1 = 0;
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1,
\)
поскольку дискриминант положителен, у нас есть два решения. Находим корни:
\(
\sin x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \sin x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};
\)
Теперь находим значения \(x\):
\(
x_1 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;
\)
\(
x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

2)
Решим уравнение:
\(
\sin^2 3x + 3 \cos 3x = 3;
\)
Заменим \(\sin^2 3x\) на \(1 — \cos^2 3x\):
\(
1 — \cos^2 3x + 3 \cos 3x = 3;
\)
Упрощаем:
\(
-\cos^2 3x + 3 \cos 3x — 2 = 0;
\)
Умножим на (-1):
\(
\cos^2 3x — 3 \cos 3x + 2 = 0;
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)
поскольку дискриминант положителен, у нас есть два решения. Находим корни:
\(
\cos 3x_1 = \frac{3 — 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \cos 3x_2 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2;
\)
Для \(3x_1\):
\(
3x_1 = 2 \pi n,
\)
что дает:
\(
x_1 = \frac{2 \pi n}{3}.
\)
Для \(3x_2\):
\(
3x_2 = \text{нет решений, так как } |\cos| > 1.
\)

Таким образом, окончательные решения:
Для первого уравнения:
\(
x_1 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n,
\)
\(
x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.
\)
Для второго уравнения:
\(
x = \frac{2 \pi n}{3}.
\)

3)
Решим уравнение:
\(
\cos 2x — 3 \sin x = 2;
\)
Используем тождество для \(\cos 2x\):
\(
\cos 2x = 1 — 2 \sin^2 x,
\)
тогда уравнение становится:
\(
1 — 2 \sin^2 x — 3 \sin x = 2;
\)
Упрощаем:
\(
-2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1 = 0,
\)
или:
\(
2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0;
\)
Теперь находим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1,
\)
поскольку дискриминант положителен, у нас есть два решения. Находим корни:
\(
\sin x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \quad \text{и} \quad \sin x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};
\)
Теперь находим значения \(x\):
\(
x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)
Для второго корня:
\(
\sin x_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

4)
Решим уравнение:
\(
2 \tan \frac{x}{3} + 2 \cot \frac{x}{3} = 5;
\)
Перепишем уравнение, используя определение котангенса:
\(
2 \tan \frac{x}{3} + \frac{2}{\tan \frac{x}{3}} = 5;
\)
Умножим всё на \(\tan \frac{x}{3}\):
\(
2 \tan^2 \frac{x}{3} + 2 = 5 \tan \frac{x}{3};
\)
Переписываем уравнение:
\(
2 \tan^2 \frac{x}{3} — 5 \tan \frac{x}{3} + 2 = 0;
\)
Теперь найдём дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\)
поскольку дискриминант положителен, у нас есть два решения. Находим корни:
\(
\tan \frac{x_1}{3} = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \tan \frac{x_2}{3} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;
\)
Теперь находим значения \(x_1\) и \(x_2\):
\(
\frac{x_1}{3} = \arctan \frac{1}{2} + \pi n,
\quad
\frac{x_2}{3} = \arctan(2) + \pi n;
\)
Умножаем обе части на 3:
\(
x_1 = 3 \arctan \frac{1}{2} + 3 \pi n,
\quad
x_2 = 3 \arctan(2) + 3 \pi n.
\)