ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Вычислите значение суммы:
\(
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{9 \cdot 10}
\)

2.
\(
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{26 \cdot 29}
\)

Вычислить значение выражения:

1)
\(
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{9 \cdot 10}
\)

\(
= \frac{3-2}{2 \cdot 3} + \frac{4-3}{3 \cdot 4} + \frac{5-4}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{10-9}{9 \cdot 10}
\)

\(
= \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} — \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{9} — \frac{1}{10} \right)
\)

\(
= \frac{1}{2} — \frac{1}{10} = \frac{10 — 2}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}
\)

Ответ:
\(
\frac{2}{5}
\)

2)
\(
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{26 \cdot 29}
\)

\(
= \frac{5-2}{2 \cdot 5} + \frac{8-5}{5 \cdot 8} + \frac{11-8}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{29-26}{26 \cdot 29}
\)

\(
= \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} — \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{26} — \frac{1}{29} \right)
\)

\(
= \frac{1}{2} — \frac{1}{29} = \frac{29 — 2}{2 \cdot 29} = \frac{27}{58}
\)

Ответ:
\(
\frac{27}{58}
\)

Вычислить значение выражения:

1)
\(
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{9 \cdot 10}
\)

Рассмотрим общий член суммы:
\(
\frac{1}{n(n+1)}
\)
Этот дробь можно разложить на простейшие дроби:
\(
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}
\)
Проверим:
\(
\frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) — n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}
\)

Теперь распишем всю сумму:
\(
\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} — \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{9} — \frac{1}{10} \right)
\)

Сложим:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{3} + \frac{1}{3} — \frac{1}{4} + \frac{1}{4} — \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{9} — \frac{1}{10}
\)

Видим, что все промежуточные дроби сокращаются, остаётся только первая и последняя:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{10}
\)

Посчитаем:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{10} = \frac{5}{10} — \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
\)

Ответ:
\(
\frac{2}{5}
\)

2)
\(
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{26 \cdot 29}
\)

Рассмотрим общий член:
\(
\frac{3}{n(n+3)}
\)
Разложим на простейшие дроби:
\(
\frac{3}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3}
\)
Домножим на знаменатель:
\(
3 = A(n+3) + Bn
\)
\(
3 = An + 3A + Bn = (A+B)n + 3A
\)
Сравним коэффициенты:
\(
A + B = 0
\)
\(
3A = 3
\)
\(
A = 1,\ B = -1
\)

Итак:
\(
\frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+3}
\)

Распишем всю сумму:
\(
\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} — \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{26} — \frac{1}{29} \right)
\)

Сложим:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{5} + \frac{1}{5} — \frac{1}{8} + \frac{1}{8} — \frac{1}{11} + \ldots + \frac{1}{26} — \frac{1}{29}
\)

Все промежуточные дроби сокращаются, остаётся первая и последняя:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{29}
\)

Посчитаем:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{29} = \frac{29 — 2}{2 \cdot 29} = \frac{27}{58}
\)

Ответ:
\(
\frac{27}{58}
\)