ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.340 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Решите уравнение:
\(
3\sin(x) — \sqrt{3}\cos(x) = 0;
\)

2)
\(
3\sin^2(x) — 2\sin(x)\cos(x) — \cos^2(x) = 0;
\)

3)
\(
4\sin^2(x) + \sin(2x) = 3;
\)

4)
\(
\sin(x) — 4\cos(x) = 1;
\)

5)
\(
6\sin^2(x) + 2\sin(2x) + 4\cos^2(x) = 3;
\)

6)
\(
\frac{2\sin(x) — \cos(x)}{5\sin(x) — 4\cos(x)} = \frac{1}{3};
\)

7)
\(
8\sin^2(x) + 4\sin^2(2x) + 8\cos(2x) = 5;
\)

8)
\(
\sin^2(x) = \cos^4\left(\frac{x}{2}\right) — \sin^4\left(\frac{x}{2}\right).
\)

1)
\(
3 \sin x — \sqrt{3} \cos x = 0;
\)
\(
3 \tan x — \sqrt{3} = 0;
\)
\(
3 \tan x = \sqrt{3};
\)
\(
\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3};
\)
\(
x = \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

2)
\(
3 \sin^2 x — 2 \sin x \cos x — \cos^2 x = 0;
\)
\(
3 \tan^2 x — 2 \tan x — 1 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
\tan x_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \tan x_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1;
\)
\(
x_1 = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

3)
\(
4 \sin^2 x + \sin 2x = 3;
\)
\(
4 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x;
\)
\(
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x — 3 \cos^2 x = 0;
\)
\(
\tan^2 x + 2 \tan x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
\tan x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \tan x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\(
x_1 = -\arctan 3 + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

4)
\(
\sin x — 4 \cos x = 1;
\)
\(
2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 4 \left(\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}\right) = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2};
\)
\(
3 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 5 \cos^2 \frac{x}{2} = 0;
\)
\(
3 \tan^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2} — 5 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64,
\)
тогда:
\(
\tan \frac{x_1}{2} = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{3} \quad \text{и} \quad \tan \frac{x_2}{2} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = 1;
\)
\(
\frac{x_1}{2} = -\arctan \frac{5}{3} + \pi n, \quad \frac{x_2}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)
\(
x_1 = -2 \arctan \frac{5}{3} + 2 \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)

5)
\(
6 \sin^2 x + 2 \sin 2x + 4 \cos^2 x = 3;
\)
\(
6 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x;
\)
\(
3 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;
\)
\(
3 \tan^2 x + 4 \tan x + 1 = 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,
\)
тогда:
\(
\tan x_1 = \frac{-4 — 2}{2 \cdot 3} = -1, \quad \tan x_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3};
\)
\(
x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n;
\)

6)
\(
\frac{2 \sin x — \cos x}{5 \sin x — 4 \cos x} = \frac{1}{3};
\)
\(
6 \sin x — 3 \cos x = 5 \sin x — 4 \cos x;
\)
\(
\sin x + \cos x = 0;
\)

\(
\tan x + 1 = 0;
\)
\(
\tan x = -1;
\)
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

7)
\(
8 \sin^2 x + 4 \sin^2 2x + 8 \cos 2x = 5;
\)
\(
8 \sin^2 x + 16 \sin^2 x \cos^2 x + 8 (\cos^2 x — \sin^2 x) = 5 (\sin^2 x + \cos^2 x);
\)
\(
5 \sin^2 x — 16 \sin^2 x \cos^2 x — 3 \cos^2 x = 0;
\)
\(
5 \sin^2 x — 16 \sin^2 x (1 — \sin^2 x) — 3 (1 — \sin^2 x) = 0;
\)
\(
16 \sin^4 x — 8 \sin^2 x — 3 = 0;
\)
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 16 \cdot 3 = 64 + 192 = 256,
\)
тогда:
\(
\sin^2 x_1 = \frac{8 — 16}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{4} \quad \text{и} \quad \sin^2 x_2 = \frac{8 + 16}{2 \cdot 16} = \frac{3}{4};
\)
\(
\sin x_1 \in \emptyset, \quad \sin x_2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;
\)

8)
\(
\sin^2 x = \cos^4 \frac{x}{2} — \sin^4 \frac{x}{2};
\)
\(
\sin^2 x = \left(\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}\right) \left(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}\right);
\)
\(
1 — \cos^2 x = \cos x;
\)
\(
\cos^2 x + \cos x — 1 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5,
\)
тогда:
\(
\cos x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2};
\)
\(
x = \pm \arccos \frac{\sqrt{5} — 1}{2} + 2 \pi n;
\)

1) Решим уравнение:
\(
3 \sin x — \sqrt{3} \cos x = 0;
\)
Перепишем уравнение в виде:
\(
3 \tan x — \sqrt{3} = 0;
\)
Отсюда следует:
\(
3 \tan x = \sqrt{3};
\)
Делим обе стороны на 3:
\(
\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3};
\)
Зная, что \(\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}\), получаем:
\(
x = \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

2) Решим уравнение:
\(
3 \sin^2 x — 2 \sin x \cos x — \cos^2 x = 0;
\)
Перепишем его в виде:
\(
3 \tan^2 x — 2 \tan x — 1 = 0;
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16,
\)
тогда находим корни:
\(
\tan x_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \tan x_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1;
\)
Теперь находим значения \(x\):
\(
x_1 = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

3) Решим уравнение:
\(
4 \sin^2 x + \sin 2x = 3;
\)
Запишем уравнение как:
\(
4 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x;
\)
Упрощаем его до:
\(
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x — 3 \cos^2 x = 0;
\)
Теперь выразим через тангенс:
\(
\tan^2 x + 2 \tan x — 3 = 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,
\)
тогда находим корни:
\(
\tan x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \tan x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
Теперь находим значения \(x\):
\(
x_1 = -\arctan 3 + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

4) Решим уравнение:
\(
\sin x — 4 \cos x = 1;
\)
Перепишем его как:
\(
2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 4 (\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}) = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2};
\)
Упрощаем до:
\(
3 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 5 \cos^2 \frac{x}{2} = 0;
\)
Теперь выразим через тангенс:
\(
3 \tan^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2} — 5 = 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64,
\)
тогда находим корни:
\(
\tan \frac{x_1}{2} = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{3} \quad \text{и} \quad \tan \frac{x_2}{2} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = 1;
\)
Теперь находим значения \(x\):
\(
\frac{x_1}{2} = -\arctan \frac{5}{3} + \pi n, \quad \frac{x_2}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)
И, следовательно, получаем:
\(
x_1 = -2 \arctan \frac{5}{3} + 2 \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)

5) Решим уравнение:
\(
6 \sin^2 x + 2 \sin 2x + 4 \cos^2 x = 3;
\)
Запишем уравнение как:
\(
6 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x;
\)
Упрощаем:
\(
3 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;
\)
Теперь выразим через тангенс:
\(
3 \tan^2 x + 4 \tan x + 1 = 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4,
\)
тогда находим корни:
\(
\tan x_1 = \frac{-4 — 2}{2 \cdot 3} = -1, \quad \tan x_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3};
\)
Теперь находим значения \(x\):
\(
x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n;
\)

6) Решим уравнение:
\(
\frac{2 \sin x — \cos x}{5 \sin x — 4 \cos x} = \frac{1}{3};
\)
Умножим обе стороны на \(5 \sin x — 4 \cos x\):
\(
2 \sin x — \cos x = \frac{1}{3}(5 \sin x — 4 \cos x);
\)
Упрощаем:
\(
6 \sin x — 3 \cos x = 5 \sin x — 4 \cos x;
\)
Переписываем:
\(
\sin x + \cos x = 0;
\)
Записываем через тангенс:
\(
\tan x + 1 = 0;
\)
Отсюда следует:
\(
\tan x = -1;
\)
Значит:
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

7) Решим уравнение:
\(
8 \sin^2 x + 4 \sin^2 2x + 8 \cos 2x = 5;
\)
Записываем:
\(
8 \sin^2 x + 16 \sin^2 x \cos^2 x + 8 (\cos^2 x — \sin^2 x) = 5 (\sin^2 x + \cos^2 x);
\)
Упрощаем:
\(
5 \sin^2 x — 16 \sin^2 x \cos^2 x — 3 \cos^2 x = 0;
\)
Далее:
\(
5 \sin^2 x — 16 \sin^2 x (1 — \sin^2 x) — 3 (1 — \sin^2 x) = 0;
\)
Записываем:
\(
16 \sin^4 x — 8 \sin^2 x — 3 = 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 16 \cdot 3 = 64 + 192 = 256,
\)
тогда находим корни:
\(
\sin^2 x_1 = \frac{8 — 16}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{4} \quad \text{и} \quad \sin^2 x_2 = \frac{8 + 16}{2 \cdot 16} = \frac{3}{4};
\)
Так как \( \sin^2 x_1 < 0\), то:
\(
\sin x_1 \in \emptyset, \quad \sin x_2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
Следовательно:
\(
x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;
\)

8) Решим уравнение:
\(
\sin^2 x = \cos^4 \frac{x}{2} — \sin^4 \frac{x}{2};
\)
Запишем как разность квадратов:
\(
\sin^2 x = (\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2});
\)
Так как \( \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1\):
\(
\sin^2 x = 1 — \cos^2 x;
\)
Записываем уравнение:
\(
1 — \cos^2 x = \cos x;
\)
Переписываем:
\(
\cos^2 x + \cos x — 1 = 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5,
\)
тогда находим корни:
\(
\cos x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2};
\)
Следовательно:
\(
x = \pm \arccos \left(\frac{\sqrt{5} — 1}{2}\right) + 2\pi n;
\)