ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.341 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Решите уравнение:
\(
\tan^3(x) + \tan^2(x) — 2\tan(x) — 2 = 0;
\)

2)
\(
\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 1;
\)

3)
\(
\cos(x) + \cos(7x) = \cos(3x) + \cos(5x);
\)

4)
\(
\cos(x) — \cos(3x) + \sin(x) = 0;
\)

5)
\(
\sin(3x) — 2\sin(x) = 0;
\)

6)
\(
\cos(7x) + \sin(8x) = \cos(3x) — \sin(2x).
\)

1)
\(
\tan^3 x + \tan^2 x — 2 \tan x — 2 = 0;
\)
\(
\tan^2 x \cdot (\tan x + 1) — 2(\tan x + 1) = 0;
\)
\(
(\tan^2 x — 2)(\tan x + 1) = 0;
\)
\(
\tan x_1 = \pm \sqrt{2}, \quad \tan x_2 = -1;
\)
\(
x_1 = \pm \arctan \sqrt{2} + \pi n, \quad x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

2)
\(
\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 1;
\)
\(
2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{12} + x\right) = 1;
\)
\(
\cos \left(x — \frac{\pi}{12}\right) = 1;
\)
\(
x — \frac{\pi}{12} = 2 \pi n;
\)
\(
x = \frac{\pi}{12} + 2 \pi n;
\)

3)
\(
\cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x;
\)
\(
2 \cos 4x \cdot \cos 3x = 2 \cos 4x \cdot \cos x;
\)
\(
2 \cos 4x \cdot (\cos 3x — \cos x) = 0;
\)
\(
\cos 4x \cdot (-2 \sin 2x \cdot \sin x) = 0;
\)
\(
\sin x_1 = 0, \quad \sin 2x_2 = 0, \quad \cos 4x_3 = 0;
\)
\(
x_1 = \pi n, \quad 2x_2 = \pi n, \quad 4x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} n, \quad x_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} n;
\)

4)
\(
\cos x — \cos 3x + \sin x = 0;
\)
\(
\sin x — 2 \sin 2x \cdot \sin (-x) = 0;
\)
\(
\sin x \cdot (1 + 2 \sin 2x) = 0;
\)

\(
1 + 2 \sin 2x_1 = 0, \quad \sin x_2 = 0;
\)
\(
\sin 2x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \pi n;
\)
\(
2x_1 = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)
\(
x_1 = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad x_2 = \pi n;
\)

5)
\(
\sin 3x — 2 \sin x = 0;
\)
\(
2 \sin x \cdot \cos 2x — \sin x = 0;
\)
\(
\sin x \cdot (2 \cos 2x — 1) = 0;
\)
\(
2 \cos 2x_1 — 1 = 0, \quad \sin x_2 = 0;
\)
\(
\cos 2x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \pi n;
\)
\(
2x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;
\)
\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x_2 = \pi n;
\)

6)
\(
\cos 7x + \sin 8x = \cos 3x — \sin 2x;
\)
\(
\sin 8x + \sin 2x = \cos 3x — \cos 7x;
\)
\(
2 \sin 5x \cdot \cos 3x = -2 \sin 5x \cdot \sin (-2x);
\)
\(
2 \sin 5x \cdot (\cos 3x — \sin 2x) = 0;
\)
\(
\sin 5x \cdot \left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) — \sin 2x\right) = 0;
\)
\(
\sin 5x \cdot 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2}\right) = 0;
\)
\(
\sin 5x_1 = 0, \quad \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x_2}{2}\right) = 0, \quad \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{5x_3}{2}\right) = 0;
\)
\(
5x_1 = \pi n, \quad \frac{\pi}{4} + \frac{x_2}{2} = \pi n, \quad \frac{\pi}{4} + \frac{5x_3}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \frac{\pi n}{5}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad x_3 = \frac{\pi}{10} + \frac{2 \pi n}{5};
\)

1) Решим уравнение:
\(
\tan^3 x + \tan^2 x — 2 \tan x — 2 = 0;
\)
Перепишем уравнение в виде:
\(
\tan^2 x \cdot (\tan x + 1) — 2(\tan x + 1) = 0;
\)
Факторизуем:
\(
(\tan^2 x — 2)(\tan x + 1) = 0;
\)
Теперь находим корни:
\(
\tan x_1 = \pm \sqrt{2}, \quad \tan x_2 = -1;
\)
Находим значения \(x\):
\(
x_1 = \pm \arctan \sqrt{2} + \pi n, \quad x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

2) Решим уравнение:
\(
\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 1;
\)
Упрощаем:
\(
2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{12} + x\right) = 1;
\)
Зная, что \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), получаем:
\(
\cos\left(x — \frac{\pi}{12}\right) = 1;
\)
Тогда:
\(
x — \frac{\pi}{12} = 2 \pi n;
\)
Отсюда:
\(
x = \frac{\pi}{12} + 2 \pi n;
\)

3) Решим уравнение:
\(
\cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x;
\)
Переписываем как:
\(
2 \cos 4x \cdot \cos 3x = 2 \cos 4x \cdot \cos x;
\)
Упрощаем:
\(
2 \cos 4x \cdot (\cos 3x — \cos x) = 0;
\)
Получаем два случая:
1. \(2 \cos 4x = 0;\)
2. \(\cos 3x — \cos x = 0;\)

Для первого случая:
\(
\cos 4x = 0;
\)
Получаем:
\(
4x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Следовательно:
\(
x_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} n;
\)

Для второго случая:
\(
-2 \sin 2x \cdot \sin x = 0;
\)
Таким образом, получаем:
\(
\sin x_1 = 0, \quad \sin 2x_2 = 0;
\)
Тогда:
\(
x_1 = \pi n, \quad 2x_2 = \pi n;
\)
Следовательно:
\(
x_2 = \frac{\pi}{2} n;
\)

Итак, итоговые решения:
\(
x_1 = \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} n, \quad x_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} n;
\)

4) Решим уравнение:
\(
\cos x — \cos 3x + \sin x = 0;
\)
Перепишем уравнение как:
\(
\sin x — 2 \sin 2x \cdot \sin (-x) = 0;
\)
Упрощаем:
\(
\sin x \cdot (1 + 2 \sin 2x) = 0;
\)

Теперь рассмотрим два случая:

1. \( \sin x = 0; \)
2. \( 1 + 2 \sin 2x_1 = 0; \)

Для первого случая:
\(
\sin x_2 = 0;
\)
Отсюда:
\(
x_2 = \pi n;
\)

Для второго случая:
\(
\sin 2x_1 = -\frac{1}{2};
\)
Тогда:
\(
2x_1 = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)
Следовательно:
\(
x_1 = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};
\)

5) Решим уравнение:
\(
\sin 3x — 2 \sin x = 0;
\)
Перепишем его как:
\(
2 \sin x \cdot \cos 2x — \sin x = 0;
\)
Факторизуем:
\(
\sin x \cdot (2 \cos 2x — 1) = 0;
\)

Теперь рассмотрим два случая:

1. \( \sin x = 0; \)
2. \( 2 \cos 2x_1 — 1 = 0; \)

Для первого случая:
\(
\sin x_2 = 0;
\)
Отсюда:
\(
x_2 = \pi n;
\)

Для второго случая:
\(
\cos 2x_1 = \frac{1}{2};
\)
Тогда:
\(
2x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;
\)
Следовательно:
\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

6) Решим уравнение:
\(
\cos 7x + \sin 8x = \cos 3x — \sin 2x;
\)
Перепишем его как:
\(
\sin 8x + \sin 2x = \cos 3x — \cos 7x;
\)
Используем формулы для суммы синусов и разности косинусов:
\(
2 \sin 5x \cdot \cos 3x = -2 \sin 5x \cdot \sin (-2x);
\)
Факторизуем:
\(
2 \sin 5x \cdot (\cos 3x — \sin 2x) = 0;
\)

Теперь рассмотрим два случая:

1. \( \sin 5x_1 = 0; \)
2. \( \cos 3x — \sin 2x = 0; \)

Для первого случая:
\(
5x_1 = \pi n;
\)
Следовательно:
\(
x_1 = \frac{\pi n}{5};
\)

Для второго случая:
Упрощаем уравнение:
\(
\sin 5x \cdot \left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) — \sin 2x\right) = 0;
\)
Раскроем скобки:
\(
\sin 5x \cdot 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2}\right) = 0;
\)

Теперь рассмотрим три случая:

1. \( \sin 5x_1 = 0; \)
2. \( \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x_2}{2}\right) = 0; \)
3. \( \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{5x_3}{2}\right) = 0; \)

Для первого случая:
\(
5x_1 = \pi n;
\)

Для второго случая:
\(
\frac{\pi}{4} + \frac{x_2}{2} = \pi n;
\)
Отсюда:
\(
x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)

Для третьего случая:
\(
\frac{\pi}{4} + \frac{5x_3}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Отсюда:
\(
x_3 = \frac{\pi}{10} + \frac{2 \pi n}{5};
\)