ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.342 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Решите уравнение:

1) \(\sin^2(x) + \sin^2(2x) — \cos^2(3x) = 0.5\);

2) \(\sin^2(x) + \sin^2(2x) — \sin^2(3x) — \sin^2(4x) = 0\).

1)
\(
\sin^2 x + \sin^2 2x — \cos^2 3x = 0,5;
\)
\(
\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} — \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{1}{2};
\)
\(
1 — \cos 2x — \cos 4x — \cos 6x = 1;
\)
\(
\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0;
\)
\(
2 \cos 4x \cdot \cos 2x + \cos 4x = 0;
\)
\(
\cos 4x \cdot (2 \cos 2x + 1) = 0;
\)
\(
2 \cos 2x_1 + 1 = 0, \quad \cos 4x_2 = 0;
\)
\(
\cos 2x_1 = -\frac{1}{2}, \quad 4x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
2x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};
\)

2)
\(
\sin^2 x + \sin^2 2x — \sin^2 3x — \sin^2 4x = 0;
\)
\(
\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} — \frac{1 — \cos 6x}{2} — \frac{1 — \cos 8x}{2} = 0;
\)
\(
\cos 8x — \cos 2x + \cos 6x — \cos 4x = 0;
\)
\(
-2 \sin 5x \cdot \sin 3x — 2 \sin 5x \cdot \sin x = 0;
\)
\(
-2 \sin 5x \cdot (\sin 3x + \sin x) = 0;
\)
\(
\sin 5x \cdot 2 \sin 2x \cdot \cos x = 0;
\)
\(
\sin 5x_1 = 0, \quad \sin 2x_2 = 0, \quad \cos x_3 = 0;
\)
\(
5x_1 = \pi n, \quad 2x_2 = \pi n, \quad x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \frac{\pi n}{5}, \quad x_2 = \frac{\pi n}{2}, \quad x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \frac{\pi n}{5}, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

1) Решить уравнение:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x — \cos^2 3x = 0,5;
\)

Для начала можно использовать тригонометрические тождества. Преобразуем \(\cos^2 3x\):

\(
\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x.
\)

Подставляем это в уравнение:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x — (1 — \sin^2 3x) = 0,5.
\)

Упрощаем:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x — 1 = 0,5.
\)

Теперь можно выразить это уравнение как:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1,5.
\)

Следующий шаг:

\(
\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} — \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{1}{2};
\)

Упрощаем:

\(
1 — \cos 2x + 1 — \cos 4x — (1 + \cos 6x) = 1.
\)

Получаем:

\(
-\cos 2x — \cos 4x — \cos 6x = 0.
\)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\(
\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0;
\)

Для дальнейшего решения можно выделить общий множитель:

\(
2 \cos 4x \cdot \cos 2x + \cos 4x = 0;
\)

Факторизуем:

\(
\cos 4x \cdot (2 \cos 2x + 1) = 0;
\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \( \cos 4x = 0; \)
2. \( 2 \cos 2x_1 + 1 = 0; \)

Решим первый случай:

\(
4x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n,
\)

где \( n \in \mathbb{Z} \).

Следовательно,

\(
x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.
\)

Решим второй случай:

\(
\cos 2x_1 = -\frac{1}{2}.
\)

Это дает:

\(
2x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,
\)

что приводит к:

\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.
\)

Таким образом, решения для первого уравнения:

\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.
\)

2) Решить уравнение:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x — \sin^2 3x — \sin^2 4x = 0;
\)

Для начала можно использовать тригонометрические тождества. Преобразуем синусы:

\(
\sin^2 3x = 1 — \cos^2 3x,
\)

\(
\sin^2 4x = 1 — \cos^2 4x.
\)

Подставляем это в уравнение:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x — (1 — \cos^2 3x) — (1 — \cos^2 4x) = 0.
\)

Упрощаем:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x — 2 = 0.
\)

Теперь можно выразить это уравнение как:

\(
\sin^2 x + \sin^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2.
\)

Следующий шаг:

\(
\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 4x}{2} — \frac{1 — \cos 6x}{2} — \frac{1 — \cos 8x}{2} = 0;
\)

Упрощаем:

\(
1 — \cos 2x + 1 — \cos 4x — (1 — \cos 6x) — (1 — \cos 8x) = 0.
\)

Получаем:

\(
-\cos 2x — \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0.
\)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\(
\cos 8x — \cos 2x + \cos 6x — \cos 4x = 0;
\)

Для дальнейшего решения можно использовать формулы для разности косинусов:

\(
-2 \sin 5x \cdot \sin 3x — 2 \sin 5x \cdot \sin x = 0;
\)

Выносим общий множитель:

\(
-2 \sin 5x \cdot (\sin 3x + \sin x) = 0;
\)

Теперь можно решить уравнение:

\(
\sin 5x \cdot (2 \sin 2x \cdot \cos x) = 0;
\)

Это дает три возможных случая:

\(
\sin 5x_1 = 0, \quad \sin 2x_2 = 0, \quad \cos x_3 = 0;
\)

Решаем каждое из этих уравнений:

\(
5x_1 = \pi n, \quad 2x_2 = \pi n, \quad x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Отсюда получаем:

\(
x_1 = \frac{\pi n}{5}, \quad x_2 = \frac{\pi n}{2}, \quad x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

В итоге у нас есть:

\(
x_1 = \frac{\pi n}{5}, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)