ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.343 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\cos(x) — \sqrt{3} \sin(x) = 1;
\)

2)
\(
\cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2} \sin(2x).
\)

1)
\(
\cos x — \sqrt{3} \sin x = 1;
\)
\(
\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{1}{2};
\)
\(
\cos \frac{\pi}{3} \cos x — \sin \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{1}{2};
\)
\(
\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};
\)
\(
x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;
\)
\(
x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x_2 = 2 \pi n;
\)

2)
\(
\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x;
\)
\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sin 2x;
\)
\(
\sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x = \sin 2x;
\)
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin 2x = 0;
\)
\(
2 \sin \left(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}\right) = 0;
\)
\(
\sin \left(\frac{\pi}{8} — \frac{x_1}{2}\right) = 0, \quad \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2}\right) = 0;
\)
\(
\frac{x_1}{2} — \frac{\pi}{8} = \pi n, \quad \frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
\frac{x_1}{2} = \frac{\pi}{8} + \pi n, \quad \frac{3x_2}{2} = \frac{3\pi}{8} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \pi n}{3};
\)
\(
x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \pi n}{3};
\)

Решить уравнение:

1)
\(
\cos x — \sqrt{3} \sin x = 1;
\)
Сначала можем преобразовать это уравнение, разделив обе стороны на 2:

\(
\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{1}{2};
\)
Теперь используем тождество косинуса суммы углов:

\(
\cos \frac{\pi}{3} \cos x — \sin \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{1}{2};
\)
Это можно записать как:

\(
\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};
\)
Теперь решим это уравнение:

\(
x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;
\)
Отсюда получаем два решения:

\(
x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x_2 = 2 \pi n;
\)

2)
Теперь решим второе уравнение:

\(
\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x;
\)
Используем формулу для двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x;
\)
Тогда уравнение можно записать как:

\(
\cos x + \sin x = 2 \sqrt{2} \sin x \cos x;
\)
Делим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sin 2x;
\)
Используем тождество для суммы углов:

\(
\sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x = \sin 2x;
\)
Это можно записать как:

\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin 2x = 0;
\)
Теперь применим формулу разности синусов:

\(
2 \sin \left(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}\right) = 0;
\)
Решаем каждое из уравнений:

\(
\sin \left(\frac{\pi}{8} — \frac{x_1}{2}\right) = 0, \quad \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2}\right) = 0;
\)
Первое уравнение дает:

\(
\frac{x_1}{2} — \frac{\pi}{8} = \pi n,
\)
а второе уравнение дает:

\(
\frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Теперь можем выразить \(x_1\) и \(x_2\):

\(
\frac{x_1}{2} = \frac{\pi}{8} + \pi n,
\quad
\frac{3x_2}{2} = \frac{3\pi}{8} + \pi n;
\)
Получаем:

\(
x_1 = \frac{\pi}{4} + 2 \pi n,
\quad
x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \pi n}{3};
\)
Таким образом, окончательное решение:

\(
x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \pi n}{3};
\)