ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.344 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\sin(60^\circ + x) \cos(x — 30^\circ) = 1;
\)

2)
\(
\cos(6x) \cos(x) = \cos(5x);
\)

3)
\(
\sin(6x) \cos(4x) = \sin(10x) \cos(8x);
\)

4)
\(
4 \sin^2(2x) = 3 — 2 \sin(6x) \sin(2x).
\)

1)
\(
\sin(60^\circ + x) \cos(x — 30^\circ) = 1;
\)
\(
\frac{1}{2} (\sin(30^\circ + 2x) + \sin 90^\circ) = 1;
\)
\(
\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2;
\)
\(
\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1;
\)
\(
2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)
\(
2x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;
\)
\(
x = \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

2)
\(
\cos 6x \cos x = \cos 5x;
\)
\(
\frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 5x) = \cos 5x;
\)
\(
\frac{1}{2} (\cos 7x — \cos 5x) = 0;
\)
\(
\frac{1}{2} \cdot (-2 \sin 6x \cdot \sin x) = 0;
\)
\(
\sin x \cdot \sin 6x = 0;
\)
\(
\sin x = 0, \quad \sin 6x = 0;
\)
\(
x_1 = \pi n, \quad 6x_2 = \pi n;
\)
\(
\quad x = \frac{\pi n}{6};
\)

3)
\(
\sin 6x \cos 4x = \sin 10x \cos 8x;
\)
\(
\frac{1}{2} (\sin 10x + \sin 2x) = \frac{1}{2} (\sin 18x + \sin 2x);
\)
\(
\frac{1}{2} (\sin 18x — \sin 10x) = 0;
\)
\(
\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 4x \cdot \cos 14x = 0;
\)
\(
\sin 4x \cdot \cos 14x = 0;
\)
\(
\sin 4x_1 = 0, \quad \cos 14x_2 = 0;
\)
\(
4x_1 = \pi n, \quad 14x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \frac{\pi n}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14};
\)

4)
\(
4 \sin^2 2x = 3 — 2 \sin 6x \sin 2x;
\)
\(
2 — 2 \cos 4x = 3 — 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos 4x — \cos 8x);
\)
\(
1 + \cos 4x + \cos 8x = 0;
\)
\(
2 \cos^2 4x — 1 + \cos 4x + 1 = 0;
\)
\(
\cos 4x \cdot (2 \cos 4x + 1) = 0;
\)
\(
2 \cos 4x_1 + 1 = 0, \quad \cos 4x_2 = 0;
\)
\(
\cos 4x_1 = -\frac{1}{2}, \quad 4x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
4x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n;
\)
\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};
\)

1) Решить уравнение:

\(
\sin(60^\circ + x) \cos(x — 30^\circ) = 1;
\)

Для начала, заметим, что максимальное значение произведения синуса и косинуса равно 1. Это возможно, когда \(\sin(60^\circ + x) = 1\) и \(\cos(x — 30^\circ) = 1\).

Следовательно, у нас есть два уравнения:

\(
\sin(60^\circ + x) = 1;
\)

\(
\cos(x — 30^\circ) = 1;
\)

Решим первое уравнение:

\(
60^\circ + x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

Отсюда:

\(
x = \frac{\pi}{2} — 60^\circ + 2\pi n = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)

Приведем к общему знаменателю:

\(
x = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;
\)

Теперь решим второе уравнение:

\(
x — 30^\circ = 2\pi m;
\)

Отсюда:

\(
x = 30^\circ + 2\pi m;
\)

Теперь у нас есть два выражения для \(x\):

1) \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;\)

2) \(x = 30^\circ + 2\pi m.\)

Теперь переходим ко второму уравнению:

\(
\cos(6x) \cos(x) = \cos(5x);
\)

Используем формулу для произведения косинусов:

\(
\frac{1}{2} (\cos(6x + x) + \cos(6x — x)) = \cos(5x);
\)

Это можно записать как:

\(
\frac{1}{2} (\cos(7x) + \cos(5x)) = \cos(5x);
\)

Упрощаем:

\(
\frac{1}{2} (\cos(7x) — \cos(5x)) = 0;
\)

Умножаем обе стороны на 2:

\(
\cos(7x) — \cos(5x) = 0;
\)

Следовательно:

\(
\cos(7x) = \cos(5x);
\)

Теперь используем формулу для разности косинусов:

\(
7x = 5x + 2k\pi \quad \text{или} \quad 7x = -5x + 2k\pi;
\)

Решим первое уравнение:

\(
2x = 2k\pi \Rightarrow x = k\pi;
\)

Решим второе уравнение:

\(
12x = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{6};
\)

Итак, мы решение:

1) \(x_1 = \frac{k\pi}{6};\)

где \(k \in \mathbb{Z}.\)

3) Решить уравнение:

\(
\sin 6x \cos 4x = \sin 10x \cos 8x;
\)

Используем тождество для произведения синуса и косинуса:

\(
\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A + B) + \sin(A — B)).
\)

Таким образом, мы можем переписать уравнение как:

\(
\frac{1}{2} (\sin(10x + 6x) + \sin(10x — 6x)) = \frac{1}{2} (\sin(8x + 6x) + \sin(8x — 6x).
\)

Упрощаем:

\(
\frac{1}{2} (\sin 16x + \sin 4x) = \frac{1}{2} (\sin 18x + \sin 2x);
\)

Умножаем обе стороны на 2:

\(
\sin 16x + \sin 4x = \sin 18x + \sin 2x;
\)

Переносим все на одну сторону:

\(
\sin 16x + \sin 4x — \sin 18x — \sin 2x = 0;
\)

Теперь можно упростить:

\(
\frac{1}{2} (\sin 18x — \sin 10x) = 0;
\)

Это уравнение равносильно:

\(
\sin 18x — \sin 10x = 0;
\)

Следовательно,

\(
\sin 4x \cdot \cos 14x = 0;
\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1)

\(
\sin 4x_1 = 0;
\)

2)

\(
\cos 14x_2 = 0;
\)

Решим первое уравнение:

\(
4x_1 = \pi n;
\)

Отсюда:

\(
x_1 = \frac{\pi n}{4};
\)

Теперь решим второе уравнение:

\(
14x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Отсюда:

\(
x_2 = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14};
\)

Теперь переходим к четвертому уравнению:

4) Решить уравнение:

\(
4 \sin^2(2x) = 3 — 2 \sin(6x) \sin(2x);
\)

Используем тождество для синуса:

\(
\sin(6x) = 2 \sin(3x) \cos(3x);
\)

Подставляем это в уравнение:

\(
4 \sin^2(2x) = 3 — 2 (2 \sin(3x) \cos(3x)) \sin(2x);
\)

Упрощаем выражение:

\(
4 \sin^2(2x) = 3 — 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(4x) — \cos(8x));
\)

Теперь упрощаем:

\(
2 — 2 \cos(4x) = 3 — (\cos(4x) — \cos(8x));
\)

Приводим подобные:

\(
1 + \cos(4x) + \cos(8x) = 0;
\)

Теперь преобразуем это уравнение:

\(
2 \cos^2(4x) — 1 + \cos(4x) + 1 = 0;
\)

Собираем все в одно уравнение:

\(
\cos(4x) (2 \cos(4x) + 1) = 0;
\)

Теперь у нас есть два случая:

1)

\(
2 \cos(4x_1) + 1 = 0;
\)

Отсюда:

\(
\cos(4x_1) = -\frac{1}{2};
\)

2)

\(
\cos(4x_2) = 0;
\)

Решим первое уравнение:

Для \(4x_1 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;\)

Таким образом, получаем:

\(
x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};
\)

Теперь решим второе уравнение:

Для \(4x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;\)

Отсюда:

\(
x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};
\)