ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.345 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 0;
\)

2)
\(
\frac{\sin(x) + \sin(3x)}{\cos(x) — \cos(3x)} = 0;
\)

3)
\(
\frac{\sin(2x)}{1 — \sin(x)} = 2 \cos(x);
\)

4)
\(
\frac{1 + \cos(x) — \sin(x)}{\cos(x)} = 0.
\)

1)
\(
\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0;
\)
\(
\sin 2x = 0, \quad 1 + \cos 2x \neq 0;
\)
\(
2x = \pi n, \quad \cos 2x \neq -1;
\)
\(
x = \frac{\pi n}{2}, \quad 2x \neq \pi + 2\pi n;
\)
\(
x = \frac{\pi n}{2}, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Ответ: \( \pi n \).

2)
\(
\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x — \cos 3x} = 0;
\)
\(
\frac{2 \sin 2x \cdot \cos x}{-2 \sin 2x \cdot \sin x} = 0;
\)
\(
\cos x = 0, \quad \sin 2x \neq 0, \quad \sin x \neq 0;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad 2x \neq \pi n, \quad x \neq \pi n;
\)
Ответ: корней нет.

3)
\(
\frac{\sin 2x}{1 — \sin x} = 2 \cos x;
\)
\(
\sin 2x = 2 \cos x (1 — \sin x);
\)

\(
2 \sin x \cos x = 2 \cos x — 2 \sin x \cos x;
\)
\(
2 \cos x \cdot (1 — 2 \sin x) = 0;
\)
\(
1 — 2 \sin x = 0, \quad \cos x = 0, \quad 1 — \sin x \neq 0;
\)
\(
\sin x = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad \sin x \neq 1;
\)
\(
x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)
Ответ:
\(
-\frac{\pi}{2} + 2 \pi n; \quad (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n.
\)

4)
\(
\frac{1 + \cos x — \sin x}{\cos x} = 0;
\)
\(
1 + \cos x — \sin x = 0, \quad \cos x \neq 0;
\)
\(
\sin x — \cos x = 1, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\sin \frac{\pi}{4} \sin x — \cos \frac{\pi}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
x = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi n;
\)
\(
x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)
Ответ: \( \pi + 2 \pi n \).

1) Решить уравнение:

\(
\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0;
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю при условии, что знаменатель не равен нулю:

\(
\sin 2x = 0, \quad 1 + \cos 2x \neq 0;
\)

Решим первое уравнение:

\(
2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z};
\)

Теперь подставим значение \(2x\) в условие для косинуса:

\(
\cos 2x \neq -1.
\)

Это означает, что:

\(
x = \frac{\pi n}{2}, \quad 2x \neq \pi + 2\pi n;
\)

Теперь решим второе уравнение:

\(
2x \neq \pi + 2\pi n.
\)

Это можно записать как:

\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: \( x = \pi n \).

2) Решить уравнение:

\(
\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x — \cos 3x} = 0;
\)

Для дроби быть равной нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(
\sin x + \sin 3x = 0;
\)

Используем формулу суммы синусов:

\(
\sin x + \sin 3x = 2 \sin 2x \cos x = 0;
\)

Таким образом, у нас есть два условия:

1)

\(
2 \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0;
\)

2)

\(
\cos x = 0.
\)

Решим первое условие:

\(
2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}.
\)

Теперь рассмотрим второе условие:

\(
\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Однако, мы должны учитывать ограничения:

\(
\sin 2x \neq 0, \quad \sin x \neq 0.
\)

Это приводит к следующему:

1)

\(
2x \neq \pi n;
\)

2)

\(
x \neq \pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: корней нет.

3) Решить уравнение:

\(
\frac{\sin 2x}{1 — \sin x} = 2 \cos x;
\)

Для начала, умножим обе стороны на \(1 — \sin x\) (при условии, что \(1 — \sin x \neq 0\)):

\(
\sin 2x = 2 \cos x (1 — \sin x);
\)

Используя формулу для синуса двойного угла, получаем:

\(
2 \sin x \cos x = 2 \cos x — 2 \sin x \cos x;
\)

Переносим все на одну сторону:

\(
2 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0;
\)

Упрощаем:

\(
2 \cos x (1 — 2 \sin x) = 0;
\)

Теперь решим два уравнения:

1)

\(
2 \cos x = 0;
\)

Это дает:

\(
\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

2)

\(
1 — 2 \sin x = 0;
\)

Это дает:

\(
\sin x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n.
\)

Таким образом, у нас есть два решения:

\(
x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Однако, нужно учесть условие \(1 — \sin x \neq 0\):

\(
\sin x \neq 1.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ:
\(
-\frac{\pi}{2} + 2 \pi n; \quad (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n.
\)

4) Решить уравнение:

\(
\frac{1 + \cos x — \sin x}{\cos x} = 0;
\)

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(
1 + \cos x — \sin x = 0, \quad \cos x \neq 0;
\)

Решаем уравнение:

\(
\sin x — \cos x = 1, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Теперь выразим это уравнение в другом виде:

\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Это можно записать как:

\(
\sin \frac{\pi}{4} \sin x — \cos \frac{\pi}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Используя тождество косинуса суммы углов, получаем:

\(
\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Это дает:

\(
x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)

Следовательно,

\(
x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)

Также у нас есть еще одно решение:

\(
x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: \(x = \pi + 2\pi n.\)