ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.346 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

\(
\sin^2(x) — 0.5 \sin(2x) = 1.
\)

Найти наименьший положительный корень:

\(
\sin^2 x — 0{,}5 \sin 2x = 1;
\)
\(
\sin^2 x — 0{,}5 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x;
\)
\(
\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0;
\)
\(
\cos x \cdot (\cos x + \sin x) = 0;
\)

1) Первое уравнение:
\(
\cos x = 0;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

2) Второе уравнение:
\(
\cos x + \sin x = 0;
\)
\(
1 + \tan x = 0;
\)
\(
\tan x = -1;
\)
\(
x = -\frac{3\pi}{4} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
\frac{\pi}{2}.
\)

Найти наименьший положительный корень:

Рассмотрим уравнение:

\(
\sin^2 x — 0{,}5 \sin 2x = 1;
\)

Используем формулу для синуса двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
\sin^2 x — 0{,}5 \cdot 2 \sin x \cos x = 1;
\)

Упрощаем:

\(
\sin^2 x — \sin x \cos x = 1;
\)

Переносим все на одну сторону:

\(
\sin^2 x — \sin x \cos x — 1 = 0;
\)

Теперь используем тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\(
\cos^2 x + \sin x \cos x = 0;
\)

Факторизуем:

\(
\cos x \cdot (\cos x + \sin x) = 0;
\)

Теперь решим два уравнения:

1) Первое уравнение:

\(
\cos x = 0;
\)

Это дает:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

2) Второе уравнение:

\(
\cos x + \sin x = 0;
\)

Перепишем его в виде:

\(
1 + \tan x = 0;
\)

Это дает:

\(
\tan x = -1;
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
x = -\frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь найдем наименьший положительный корень. Из первого уравнения:

Наименьший положительный корень из первого уравнения:

\(
x = \frac{\pi}{2}, \quad n = 0.
\)

Из второго уравнения:

Наименьший положительный корень из второго уравнения:

Для \(n = 1\):

\(
x = -\frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}.
\)

Сравниваем оба корня:

Наименьший положительный корень:

Ответ:
\(
\frac{\pi}{2}.
\)