ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.347 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько корней уравнения:

\(
\sin(3x) — \sin(x) + \cos(2x) = 0
\)

принадлежат промежутку:

\(
\left[-\frac{\pi}{2}; \, \pi\right]?
\)

Дано уравнение:
\(
\sin 3x — \sin x + \cos 2x = 0;
\)
\(
2 \sin x \cdot \cos 2x + \cos 2x = 0;
\)
\(
\cos 2x \cdot (2 \sin x + 1) = 0;
\)

1) Первое уравнение:
\(
\cos 2x = 0;
\)
\(
2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};
\)

2) Второе уравнение:
\(
2 \sin x + 1 = 0;
\)
\(
\sin x = -\frac{1}{2};
\)
\(
x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

3) На отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2}; \, \pi\right]\):
\(
x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4};
\)
\(
x_2 = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4};
\)
\(
x_3 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4};
\)
\(
x_4 = -\frac{\pi}{6} + 0 = -\frac{\pi}{6};
\)

Ответ:
\(
-\frac{\pi}{6}; \quad -\frac{\pi}{4}; \quad \frac{\pi}{4}; \quad \frac{3\pi}{4}.
\)

Дано уравнение:
\(
\sin 3x — \sin x + \cos 2x = 0;
\)

Для упрощения уравнения используем тождество для синуса:

\(
\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x,
\)

и тождество для косинуса двойного угла:

\(
\cos 2x = 1 — 2 \sin^2 x.
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
3 \sin x — 4 \sin^3 x — \sin x + (1 — 2 \sin^2 x) = 0;
\)

Упрощаем:

\(
2 \sin x — 4 \sin^3 x — 2 \sin^2 x + 1 = 0;
\)

Теперь группируем все члены:

\(
-4 \sin^3 x — 2 \sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0;
\)

Умножим на (-1):

\(
4 \sin^3 x + 2 \sin^2 x — 2 \sin x — 1 = 0;
\)

Теперь мы можем использовать метод факторизации. Разделим уравнение на два множителя:

\(
2 \sin x \cdot \cos 2x + \cos 2x = 0;
\)

Мы можем вынести общий множитель:

\(
\cos 2x (2 \sin x + 1) = 0;
\)

Теперь решим два уравнения:

1) Первое уравнение:
\(
\cos 2x = 0;
\)

Это дает:
\(
2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Таким образом,
\(
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};
\)

2) Второе уравнение:
\(
2 \sin x + 1 = 0;
\)

Это дает:
\(
\sin x = -\frac{1}{2};
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

Теперь найдем корни на отрезке \( \left[-\frac{\pi}{2}; \, \pi\right] \):

Для первого уравнения:
\(
x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4};
\)
\(
x_2 = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4};
\)
\(
x_3 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4};
\)

Для второго уравнения:
\(
x_4 = -\frac{\pi}{6} + 0 = -\frac{\pi}{6};
\)

Ответ:
\(
-\frac{\pi}{6}; \quad -\frac{\pi}{4}; \quad \frac{\pi}{4}; \quad \frac{3\pi}{4}.
\)